3.3　線性定常系統的受控運動

線性定常系統在控制作用下的運動，稱為強迫運動。數學表征為非齊次狀態方程，如圖3-2所示。

定理3-1　若非齊次狀態方程初始狀態為x（t0）的解存在，則必具有如下形式，即

t0=0時

t0≠0時

　　

證明　先把狀態方程=Ax+Bu寫成

上式兩邊左乘e-At，得

對上式進行由0→t的積分，得

化簡為

上式兩邊再左乘eAt，且有e-At·eAt=I，則有

同理，有

顯然，線性系統的強迫運動由兩部分構成，第一部分為初始狀態的轉移項（自由運動），第二部分為控制作用下的受控項，這說明強迫運動的響應滿足線性系統的疊加原理。由于第二部分存在，故可通過選擇u（t）使x（t）的軌線滿足特定要求。

【例3-2】 設一線性系統的狀態方程為

其中，u（t）=1（t）為單位階躍函數，求該方程的解。

解　該系統的狀態轉移矩陣在例3-1中已求得為

因此

上式第一項，即自由運動項為

上式第二頂，即受控運動項為

故

【例3-3】 試用狀態轉移矩陣求解二階微分方程；在該二階系統已知初始狀態x（t0）的情況下，求其受控制作用u（t）后所做強迫運動的解。

解　

（1）求二階微分方程的解

①化為狀態方程。令，則

即

②根據求解。因為

根據下式信號與其拉普拉斯變換的對應關系

有　 

所以，系統的自由運動為

故方程的解為

（2） 求強迫運動的解

微分方程為

取狀態變量 ，則

即

系統的運動為

上式第一項*，即系統的自由運動，已在（1）中求得。第二項**，即受控運動解得

故非齊次微分方程的解為