第二章　交流電路基礎及應用

第一節　正弦交流電路基礎

一、正弦交流電的產生

（1）正弦交流電的特點

第一章直流電路中所討論的直流電，其電流（及電壓、電磁勢）的大小和方向是不隨時間變化的。但是在生產實際中，除了應用直流電外，還廣泛地應用交流電。所謂交流電是指電流（及電壓、電動勢）的大小和方向隨時間的變化而變化。交變電流、交變電壓和交變電動勢統稱為交流電。通常將交流電分為正弦交流電和非正弦交流電兩大類。正弦交流電是指其交流量隨時間按正弦規律變化。

人們經常用圖形表示電流（及電壓、電動勢）隨時間變化的規律，這種圖形稱為波形圖，如圖2-1所示。

圖中橫坐標表示時間，縱坐標表示不同時刻的交流量（電流、電壓、電動勢）值。從如圖2-1（b）所示的波形圖中可以看到，正弦交流電（如無特別說明都簡稱交流電）的特點如下。

①變化的瞬時性。正弦交流電的大小和方向時時刻刻都在變化。

②變化的周期性。正弦交流電每隔一定時間又作重復的變化。

③變化的規律性。正弦交流電是隨著時間按正弦規律變化的。

正弦交流電在工農業生產以及日常生活中應用廣泛，是由于它具有便于遠距離傳輸和分配，交流發電機結構簡單、運行可靠、維修方便、節省材料、具有更低的電磁干擾等優點。

（2）正弦交流電的產生

正弦交流電是由交流發電機產生的。如圖2-2（a）所示是最簡單的交流發電機示意圖，它由定子和轉子組成。定子有N，S兩個固定磁極。轉子是一個可以轉動的鋼質圓柱體，其上緊繞著一匝導線。導線兩端分別接到兩個相互絕緣的銅環上，銅環與連接外電路的電刷相接觸。

當用原動機（如水輪機或汽輪機）拖動電樞轉動時，由于運動導線切割磁感應線而在線圈中產生感應電動勢。為了得到正弦波形的感應電動勢，應采用特定形式的磁極，使磁極與電樞之間的空隙中的磁感應強度按下列規律分布。

第一，磁感應線垂直于電樞表面。

第二，磁感應強度B在電樞表面按正弦規律分布。

如圖2-2（b）所示。在磁極中心位置處的磁感應強度最大，用Bm表示；在磁性分界面處的磁感應強度為零。磁感應強度等于零的平面叫作中性面，如圖2-2（b）所示的OO'水平面。如線圈所在位置的平面與中性面成α角，此處電樞表面的磁感應強度為：

B=Bmsinα　　（2-1）

當電樞在磁場中從中性面開始，以勻角速度ω逆時針轉動時，單匝線圈的a、b邊在磁場內切割磁感應線產生感應電動勢。單匝線圈中產生的磁感應電動勢為：

e=2Blv=2Bmlvsinα　　（2-2）

如果線圈有N匝，則總的感應電動勢為：

e=2NBmlvsinα　　（2-3）

當α=90°及α=270°時，感應電動勢具有最大值，即：

Em=2NBmlv　　（2-4）

式中　Em——感應電動勢最大值，V；

　N——線圈的匝數；

　Bm——最大磁感應強度，Wb/m2；

　l——線圈的有效長度，m；

　v——導線運動速度，m/s。

將式（2-4）代入式（2-3）后，得：

e=Emsinα　　（2-5）

因為電樞在磁場中以角速度ω做勻速轉動，在任意時刻線圈平面與中性面的夾角α等于角速度ω與時間t的乘積，即：

α=ωt　　（2-6）

因此，感應電動勢的數學式又可以寫成：

e=Emsinωt　　（2-7）

這樣就把感應電動勢隨角度變化轉為隨時間變化。為今后研究交流電正弦量提供了方便。同理，交流電壓、交流電流可表示為：

 

　　（2-8）

二、正弦交流電的三要素

（1）周期、頻率、角頻率

由如圖2-1所示中的正弦交流電流波形圖可以看出，它從零開始隨時間延長而增至最大值，然后逐漸減到零；以后由零開始反向增至最大值，然后再回到零。這樣，交流電流就變化一次。交流電就按照這樣的規律做周而復始的變化，變化一次叫作一周。交流電變化一周所需要的時間叫作周期，用字母T表示，單位是秒（s），較小的單位有毫秒（ms）和微秒（μs）。它們之間的關系為：

1s=103ms=106μs

周期的長短表示交流電變化的快慢一周期越小，說明交流電變化一周所需的時間越短，交流電的變化越快；反之，交流電的變化越慢。

頻率是指在一秒鐘內交流電變化的次數，用字母f表示，單位為赫茲；簡稱赫，用Hz表示。當頻率很高時，可以使用千赫（kHz）、一兆赫（MHz）、吉赫（GHz）等。它們之間的關系為：

1kHz=103Hz
1MHz=103kHz
1GHz=103MHz

頻率和周期一樣，是反映交流電變化快慢的物理量。它們之間的關系為：

　　（2-9）

我國農業生產及日常生活中使用的交流電標準頻率為50Hz。通常把50Hz的交流電稱為工頻交流電。

交流電變化的快慢除了用周期和頻率表示外，還可以用角頻率表示。所謂角頻率就是交流電每秒鐘變化的角度，用字母ω表示，單位是rad/s（弧度每秒）。

周期、頻率和角頻率的關系是：

　　 （2-10） 　　

（2）瞬時值、最大值、有效值

正弦交流電（簡稱交流電）的電動勢、電壓、電流，在任意瞬間的數值叫交流電的瞬時值，用字母E，U，I表示。

瞬時值中最大的值稱為最大值。最大值也稱為振幅或峰值。在波形圖中，曲線的最高點對應的縱軸值，即表示最大值。用Em，Um，Im分別表示電動勢、電壓、電流的最大值。它們之間的關系為：

　　 （2-11） 　　

由式（2-11）可知，交流電的大小和方向是隨時間變化的，瞬時值在零值與最大值之間變化，沒有固定的數值。因此，不能隨意用一個瞬時值來反映交流電的做功能力。如果選用最大值，就夸大了交流電的做功能力，因為交流電在絕大部分時間內都比最大值要小。這就需要選用一個數值，能等效地反映交流電做功的能力。為此，引入了交流電的有效值這一概念。

正弦交流電的有效值是這樣定義的：如果一個交流電通過一個電阻，在一個周期內所產生的熱量，和某一直流電流在相同時間內通過同一電阻產生的熱量相等，那么，這個直流電的電流值就稱為交流電的有效值。正弦交流電的電動勢。電壓、電流的有效值分別用字母E，U，I表示。通常所說的交流電的電動勢、電壓、電流的大小都是指它的有效值，交流電氣設備銘牌上標注的額定值、交流電儀表所指示的數值也都是有效值。今后在談到交流電的數值時，如無特殊注明，都是指有效值。

理論計算和實驗測試都可以證明，它們之間的關系為：

　（2-12）

（3）相位、初相和相位差

在如圖2-3所示中，兩個相同的線圈固定在同一個旋轉軸上，它們相互垂直，以角速度叫逆時針旋轉。在AX和BY線圈中產生的感應電動勢分別為E1和E2，如圖2-4所示。

當t=0時，AX線圈平面與中性面之間的夾角φ1=0°，BY線圈平面與中性面之間的夾角φ2=90°。在任意時刻兩個線圈的感應電動勢分別為：

E1=Emsin（ωt+φ1）

E2=Emsin（ωt+φ2）　　（2-13）

式中，ωt+φ1和ωt+φ2是表示交流電變化進程的一個角度，稱為交流電的相位或相角，它決定了交流電在某一瞬時所處的狀態。t=0時的相位叫初相位或初相。它是交流電在計時起始時刻的電角度，反映了交流電的初始值。例如，AX，BY線圈的初相分別是φ1=0°，φ2=90°。在t=0時，兩個線圈的電動勢分別為E1=0，E2=Em。兩個頻率相同的交流電的相位之差叫相位差。令上述E1的初相位φ1=0°，E2的初相位φ2=90°，則兩個電動勢的相位差為：

Δφ=（ωt+φ2）-（ωt+φ1）=φ2-φ1　　（2-14）

可見，相位差就是兩個電動勢的初相差。

從如圖2-5所示可以看到，初相分別為φ1和φ2的頻率相同的兩個電動勢的同向最大值，不能在同一時刻出現。就是說E2比E1超前φ角度達到最大值，或者說E1比E2滯后φ角度達到最大值。

綜上所述，一個交流電變化的快慢用頻率表示；其變化的幅度，用最大值表示；其變化的起點用初相表示。如果交流電的頻率、最大值、初相確定后，就可以準確確定交流電隨時間變化的情況。因此，頻率、最大值和初相稱為交流電的三要素。

例題1　已知兩正弦電E1=100sin（100πt+60°）V，E2=65sin（100πt+30°）V，求各電動勢的最大值、頻率、周期、相位、初相及相位差。

解：

①振幅　　　　　　　　　　　　　Em1=100V　　Em2=65V

②頻率　　　　　　　　　　　　

③周期　　　　　　　　　　　　

④相位　　　　　　　　　　　　　　　φ1=100πt+60°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　φ2=100πt+30°

⑤初相　　　　　　　　　　　　　　　　　φ1=60°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　φ2=30°

⑥相位差　　　　　　　　　　　　Δφ=φ1-φ2=60°-30°=30°

三、正弦交流電的表示法

正弦交流電的表示方法有三角函數式法和正弦曲線法兩種。它們能真實地反映正弦交流電的瞬時值隨時間的變化規律，同時也能完整地反映出交流電的三要素。

（1）三角函數式法

正弦交流電的電動勢、電壓、電流的三角函數式為：

E=Emsin（ωt+φE）

U=Umsin（ωt+φU）

I=Imsin（ωt+φI）

若知道了交流電的頻率、最大值和初相，就能寫出三角函數式，用它可以求出任一時刻的瞬時值。

例題2　已知正弦交流電的頻率f=50Hz，最大值Um=310V，初相?=30°。求t=1/300s時的電壓瞬時值。

解：

電壓的三角函數標準式為

U=Umsin（ωt+φU）=Umsin（2πft+φU）

則其電壓瞬時值表達式為

U=310sin（100πt+30°）

將t=0.01s代入上式

（2）正弦曲線法-波形法

正弦曲線法就是利用三角函數式相對應的正弦曲線，來表示正弦交流電的方法。

在如圖2-6所示中，橫坐標表示時間t或者角度ωt，縱坐標表示隨時間變化的電動勢瞬時值。圖中正弦曲線反映出正弦交流電的初相?=0。E最大值Em，周期T以及任一時刻的電動勢瞬時值。這種圖也叫作波形圖。

四、單相交流電路

在直流電路中，電路的參數只有電阻R。而在交流電路中，電路的參數除了電阻R以外，還有電感L和電容C。它們不僅對電流有影響，而且還影響了電壓與電流的相位關系。因此，研究交流電路時，在確定電路中數量關系的同時，必須考慮電流與電壓的相位關系，這是交流電路與直流電路的主要區別。本節只簡單介紹純電阻、純電感、純電容電路。

（1）純電阻電路

純電阻電路是只有電阻而沒有電感、電容的交流電路。如白熾燈、電烙鐵、電阻爐組成的交流電路都可以近似看成是純電阻電路，如圖2-7所示。在這種電路中對電流起阻礙作用的主要是負載電阻。

加在電阻兩端的正弦交流電壓為U，在電路中產生了交流電流I，在純電阻電路中，電壓和電流瞬時值之間的關系，符合歐姆定律，即：

I=U/R　　（2-15）

由于電阻值不隨時間變化，則電流與電壓的變化是一致的。就是說，電壓為最大值時，電流也同時達到最大值；電壓變化到零時，電流也變化到零。如圖2-8所示。純電阻電路中，電流與電壓的這種關系稱為“同相”。

通過電阻的電流有效值為：

I=U/R　　（2-16）

公式（2-16）是純電阻電路的有效值。在純電阻電路中，電流通過電阻所做的功與直流電路的計算方法相同，即：

P=UI=I2R=U2R　　（2-17）

（2）純電感電路

純電感電路是只有電感，而沒有電阻和電容的電路。如由電阻很小的電感線圈組成的交流電路，都可近似看成是純電感電路，如圖2-9所示。

在如圖2-9所示的純電感電路中；如果線圈兩端加上正弦交流電壓，則通過線圈的電流I也要按正弦規律變化。由于線圈中電流發生變化，在線圈中就產生自感電動勢，它必然阻礙線圈電流變化。經過理論分析證明，由于線圈中自感電動勢的存在，使電流達到最大值的時間，要比電壓滯后90°，即四分之一周期。也就是說，在純電感電路中，雖然電壓和電流都按正弦規律變化，但兩者不是同相的，如圖2-10所示，正弦電流比線圈兩端正弦電壓滯后90°，或者說，電壓超前電流90°。

理論證明，純電感電路中線圈端電壓的有效值U，與線圈通過電流的有效值之間的關系是：

I=U/ωL=U/XL　　（2-18）

ωL是電感線圈對角頻率為ω的交流電所呈現的阻力，稱為感抗，用XL表示，即：

XL=ωL=2πfL　　（2-19）

式中　XL——感抗，Ω；

　f——頻率，Hz；

　L——電感，H。

感抗是用來表示電感線圈對交流電阻礙作用的物理量。感抗的大小，取決于通過線圈電流的頻率和線圈的電感量。對于具有某一電感量的線圈而言，頻率越高，感抗越大，通過的電流越小；反之，感抗越小，通過的電流越大。收音機中的高頻扼流圈不讓高頻電流通過，只讓低頻電流通過，就是這個道理。在直流電路中，由于頻率為零，故線圈的感抗也為零，線圈的電阻很小，可以把線圈看成是短路的。

例題3　有一電感為0.1mH的線圈，分別接在電壓U=0.1V，頻率為f1=1000Hz，f2=1MHz的兩個交流電源上。求兩種情況下通過線圈的電流。

解：

當f1=1000Hz時，感抗為：

XL1=2πfL=2×3.14×1000×0.1×10-3=0.628Ω

I=U/XL1=0.1/0.628=0.159A=159mA

當f2=1MHz時，感抗為：

XL2=2πfL=2×3.14×106×0.1×10-3=628Ω

I=U/XL2=0.1/628=0.000159A=159μA

結論：同一個電源電壓、同一個電感，交流電頻率差1000倍，XL差1000倍，電流差1000倍。

（3）純電容電路

電容器是由兩個金屬板中間隔著不同的介質（云母、絕緣紙等）組成的。它是存放電荷的容器。電容器中的兩個金屬板叫電容器兩個極板。如果把電容器的兩個極板分別與直流電路兩端連接，如圖2-11所示，則兩極板間有電壓，在極板間建立了電場。

在電場力作用下，驅使自由電子運動，使兩個極板分別帶上數量相等符號相反的電荷。與電源正極相連的極板帶正電荷，與電源負極相連的極板帶負電荷。實驗證明，極板上存有電荷Q越多，則極板間的電壓U越高，二者成正比。因此，將電容器的電量Q與極板間電壓的比值叫作電容器的電容量，簡稱電容，用字母C表示，即：

　　 （2-20） 　　

式中　Q——下任意極板上的電量，C；

　U——兩極板間的電壓，V；

　C——電容量，F。

當電容器極板間電壓為1V，極板上電量為1C，則電容器的電容量為1F。在實際應用中，由于法拉單位過大，所以經常使用微法（μA）和皮法（pF）為電容的單位，它們之間的關系為：

1μF=10-6F

1pF=10-6μF=10-12F

常用的電容器符號如圖2-12所示。

電容器在電工和電子技術中應用廣泛。如在電力系統中用它改善系統的功率因數，在電子技術中用它進行濾波、耦合、隔直、旁路、選頻等。在這里只簡單介紹電容在交流電路的作用。

純電容電路是只有電容而沒有電阻、電感的電路。如電介質損耗很小，絕緣電阻很大的電容器組成的交流電路。可近似看成純電容電路。

在如圖2-13所示的純電容電路中，電容器接上交流電源。在電壓升高的過程中，電容器充電，在電壓降低的過程中，電容器放電。由于電容器端電壓按正弦規律變化，致使電容器不斷地進行充電、放電。于是在電路中形成按正弦規律變化的電流。理論分析證明：電路中電流達到同方向最大值的時間，比電容器的端電壓超前90°，即提前四分之一周期。也就是說，在純電容電路中，雖然電流與電壓都按正弦規律變化；但兩者的相位不同，如圖2-14所示，純電容電路中的電流超前電壓90°。

理論證明：在純電容電路中，電容兩端電壓的有效值U與電路電流有效值I之間的關系是：

　　 （2-21） 　　

1/ωC是電容對角頻率為ω的交流電所呈現的阻力，稱為容抗，用XC表示，即：

XC=1/ωC=1/2πfC　　（2-22）

容抗是用來表示電容器對電流阻礙作用大小的一個物理量，單位是歐，用Ω表示。容抗的大小與頻率及電容量成反比。當電容器的容量一定時，頻率越高，容抗越小，電流越大；反之，頻率越低，容抗越大，電流越小。在直流電路中，由于電流電頻率為零，因此，容抗為無限大。這表明，電容器在直流電路中相當于開路。但在交流電路中，隨著電流頻率的增加，容抗逐漸減小。因此，電容器在交流電路中相當于通路。這就是電容器隔斷直流，通過交流的原理。

例題4　有一個電容器的電容C=0.159μF，試求它在頻率為50Hz和1MHz時的容抗。如果電源電壓為100V，求在頻率為50Hz和1MHz時的電流。

解：

當f1=50Hz時，

當f2=1MHz時，

五、三相交流電路

在單相交流電路的電源電路上有兩根輸出線，而且電源只有—個交變電動勢。如果在交流電路中三個電動勢同時作用，每個電動勢大小相等，頻率相同，但初相不同，則稱這種電路為三相制交流電路。其中，每個電路稱為三相制電路的一相。

三相制電路應用廣泛，其電源是三相發電機。和單相交流電相比，三相交流電具有以下優點。

①三相發電機比尺寸相同的單相發電機輸出的功率大。

②三相發電機的結構和制造與單相發電機相比，并不復雜，使用方便，維修簡單，運轉時振動也很小。

③在條件相同、輸送功率相同的情況下，三相輸電線比單相輸電線可節約25%左右的線材。

（1）三相電動勢的產生

三相交流電是由三相發電機產生的，如圖2-15所示是三相發電機的結構示意圖。它由定子和轉子組成。在定子上嵌入三個繞組，每個繞組叫一相，合稱三相繞組。繞組的一端分別用U1，V1，W1表示，叫作繞組的始端，另一端分別用U2，V2，W2表示，叫繞組的末端。三相繞組始端或末端之間的空間角為120°。轉子為電磁鐵，磁感應強度沿轉子表面按正弦規律分布。

當轉子以勻角速度ω逆時針方向旋轉時，在三相繞組中分別感應出振幅相等，頻率相同，相位互差120°的三個感應電動勢，這三相電動勢稱為對稱三相電動勢。三個繞組中的電動勢分別為：

EU=Emsin（ωt）

EV=Emsin（ωt-120°）

EW=Emsin（ωt+120°）

顯而易見，V相繞組的EV比U相繞組的EU落后120°，W相繞組的EW比V相繞組的EV落后120°。

如圖2-16所示是三相電動勢波形圖。由圖可見三相電動勢的最大值。角頻率相等，相位差120°。電動勢的方向是從末端指向始端，即U2到U1，V2到V1，W2到W1。

在實際工作中經常提到三相交流電的相序問題，所謂相序就是指三相電動勢達到同向最大值的先后順序。在圖中，最先達到最大值的是EU，其次是EV，最后是EW；它們的相序是U—V—W，該相序稱為正相序，反之，是負序或逆序，即W—V—U。通常三相對稱電動勢的相序都是指正相序，用黃、綠、紅三種顏色分別表示U、V、W三相。

（2）三相電源繞組的聯結

三相發電機的每相繞組都是獨立的電源，均可以采用如圖2-17所示的方式向負載供電。這是三個獨立的單相電路，構成三相六線制，有六根輸電線，既不經濟，又沒有實用價值。在現代供電系統中，發電機三相繞組通常用星形聯結或三角形聯結兩種方式。但是，發電機繞組一般不采用三角形接法，而采用星形接法。因此，這里只介紹星形接法。

將發電機三相繞組的末端U2，V2，W2連在一起，成為一個公共點，再將三相繞組的始端U1，V1，W1引出，接負載的三根輸電線。這種接法稱為星形接法或Y形接法，如圖2-18所示。公共點稱作電源中點，用字母N表示。從始端引出的三根輸電線叫作相線或端線，俗稱火線。從電源中點N引出的線叫作中線。中線通常與大地相連接，因此，把接地的中點叫零點，把接地的中線叫零線。

如果從電源引出四根導線，這種供電方式叫星接三相四線制；如果不從電源中點引出中線，這種供電方式叫星接三相三線制。

電源相線與中線之間的電壓叫作相電壓，在如圖2-17所示中用UU，UV，UW表示，電壓方向是由始端指向中點。

電源相線之間的電壓叫作線電壓，分別用UUV，UVW，UWU表示。電壓的正方向分別是從端點U1到V1，V1到W1，W1到U1。

三相對稱電源的相電壓相等，線電壓也相等，則相電壓UP與線電壓UP之間的關系為：

　　 （2-23） 　　

公式（2-23）表明三相對稱電源星形聯結時，線電壓的有效值等于相電壓有效值的1.7倍。

（3）三相交流電路負載的聯結

在三相交流電路中，負載由三部分組成，其中，每兩部分稱為一相負載。如果各相負載相同，則叫作對稱三相負載；如果各相負載不同，則叫作不對稱三相負載。例如，三相電動機是對稱三相負載，日常照明電路是不對稱三相負載。根據實際需要，三相負載有兩種連接方式，星形（Y形）聯結和三角形（△形）聯結。

①負載的星形聯結。設有三組負載ZU，ZV，ZW，若將每組負載的一端分別接在電源三根相線上，另一端都接在電源的中線上，如圖2-19所示，這種連接方式叫作三相負載的星形聯結。圖中ZU，ZV，ZW為各相負載的阻抗，N為負載的中性點。

由圖可見，負載兩端的電壓稱為相電壓。如果忽略輸電線上的壓降，則負載的相電壓等于電源的相電壓；三相負載的線電壓就是電源的線電壓。負載相電壓U相與線電壓U線間的關系為：

　　 （2-24） 　　

星接三相負載接上電源后，就有電流流過相線、負載和中線。流過相線的電流IU，IV，IW叫作線電流，統一用I線表示。流過每相負載的電流IU，IV，IW叫作相電流，統一用I相表示。流過中線的電流IN叫作中線電流。

如圖2-19所示中的三相負載各不相同（負載不對稱）時，中線電流不為零，應當采取三相四線制。如果三相負載相同（負載對稱）時，流過中線的電流等于零，此時可以省略中線。如圖2-20所示是三相對稱負載星形聯結的電路圖。可見去掉中線后，電源只需三根相線就能完成電能輸送，這就是三相三線制。

三相對稱負載呈星形聯結時，線電流IW等于相電流IP，即：

IWY=IPY　　（2-25）

在工業上，三相三線制和三相四線制應用廣泛。對于三相對稱負載（如三相異步電動機）應采用三相三線制，對于三相不對稱的負載，如圖2-21所示的照明線路，應采用三相四線制。

值得注意的是，采用三相四線制時，中線的作用是使各相的相電壓保持對稱。因此，在中線上不允許接熔斷器，更不能拆除中線。

②負載的三角形聯結。設有三相對稱負載，將它們分別接在三相電源兩相線之間，如圖2-22所示，這種連接方式叫作負載的三角形聯結。

負載呈三角形聯結時，負載的相電壓UP就是電源的線電壓UW，即：

UPA=UWA　　（2-26）

當對稱負載呈三角形聯結時，電源線上的線電流IW有效值與負載上相電流IP有效值有如下的關系：

　　 （2-27） 　　

分析了三相負載的兩種聯結方式后，可以知道，負載呈三角形聯結時的相電壓是其呈星形聯結時的相電壓的1.7倍。因此，當三相負載接到電源時，究竟是采用星形聯結還是三角形聯結，應根據三相負載的額定電壓而定。