0.4　有效數(shù)字

0.4.1　有效數(shù)字及位數(shù)

有效數(shù)字是指在分析工作中實(shí)際可以測(cè)量到的或代表一定物理意義的數(shù)字。它包括確定的數(shù)字和最后一位估計(jì)的不確定的數(shù)字。它不僅能表示測(cè)量值的大小，還能表示測(cè)量值的精度。例如用萬(wàn)分之一的分析天平稱得的坩堝的質(zhì)量為18.4285g，則表示該坩堝的質(zhì)量為18.4284～18.4286g。因?yàn)榉治鎏炱接小?.0001g的誤差。18.4285有6位有效數(shù)字。前五位是確定的，最后一位“5”是不確定的可疑的數(shù)字。如將此坩堝放在百分之一天平上稱量，其質(zhì)量應(yīng)為（18.42±0.01）g。因?yàn)榘俜种惶炱降姆Q量精度為±0.01g。18.42為四位有效數(shù)字。再如，用刻度為0.1mL的滴定管測(cè)量溶液的體積為24.00mL，表示可能有±0.01mL的誤差。“24.00”的數(shù)字中，前三位是準(zhǔn)確的，后一位“0”是估計(jì)的、可疑的，但它們都是實(shí)際測(cè)得的，四位都是有效數(shù)字。

有效數(shù)字的位數(shù)可以用下列幾個(gè)數(shù)據(jù)說(shuō)明：

　　　　1.2104　　　25.315　　　　五位有效數(shù)字

　　　　0.1000　　　24.13　　　　　四位有效數(shù)字

　　　　0.0120　　　1.65×10-6　　三位有效數(shù)字

　　　　0.0030　　　5.0　　　　　兩位有效數(shù)字

　　　　0.001　　　　0.3　　　　　一位有效數(shù)字

數(shù)字“0”在有效數(shù)字中有兩種作用，當(dāng)用來(lái)表示與測(cè)量精度有關(guān)的數(shù)值時(shí)，是有效數(shù)字；當(dāng)用來(lái)指示小數(shù)點(diǎn)的位置，只起定位作用，與測(cè)量精度無(wú)關(guān)時(shí)，則不是有效數(shù)字。在上列數(shù)據(jù)中，數(shù)字之間的“0”和數(shù)字末尾的“0”均為有效數(shù)字，而數(shù)字前面的“0”只起定位作用，不是有效數(shù)字。如，0.0120g是三位有效數(shù)字，若以毫克為單位表示時(shí)則為12.0mg，數(shù)字前面的“0”消失，仍是三位有效數(shù)字。

以“0”結(jié)尾的正整數(shù)，有效數(shù)字位數(shù)不確定，最好用指數(shù)形式來(lái)表示。例如450這個(gè)數(shù)，可能是兩位或三位有效數(shù)字，有效數(shù)字的位數(shù)取決于測(cè)量的精度。如只精確到兩位數(shù)字，那么，它是兩位有效數(shù)字，應(yīng)寫成4.5×102；如精確到三位數(shù)字，應(yīng)寫成4.50×102。對(duì)于含有對(duì)數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)的確定，如pH值，其位數(shù)僅取決于小數(shù)部分?jǐn)?shù)字的位數(shù)，因整數(shù)部分只說(shuō)明這個(gè)數(shù)的方次。如pH=11.20和pH=0.03是兩位有效數(shù)字。

分析化學(xué)中常遇到倍數(shù)或分?jǐn)?shù)的關(guān)系，包括定義中的單位體積或質(zhì)量（如1L或1kg溶液中），它們?yōu)榉菧y(cè)量所得，可視為有無(wú)限多位有效數(shù)字。

0.4.2　有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

（1）有效數(shù)字的修約規(guī)則

有效數(shù)字的位數(shù)確定后，多余的位數(shù)應(yīng)舍棄。舍棄的方法一般采用“四舍六入，五后有數(shù)就進(jìn)一，五后沒數(shù)看單雙”的規(guī)則進(jìn)行修約。即當(dāng)尾數(shù)≤4時(shí)，棄去；尾數(shù)≥6時(shí)進(jìn)位；尾數(shù)等于5時(shí)，5后有數(shù)就進(jìn)位，若5后無(wú)數(shù)或?yàn)榱銜r(shí)，則尾數(shù)5之前一位為偶數(shù)就棄去，若為奇數(shù)就進(jìn)位。

例0-1　將下列數(shù)據(jù)修約為四位有效數(shù)字。

3.2724、5.3766、4.282502、4.2815、4.2825、4.28150、2.86250

解：3.2724→3.272；5.3766→5.377；4.282502→4.283；4.2815→4.282；

4.2825→4.282；4.28150→4.282；2.86250→2.862

（2）加減運(yùn)算

幾個(gè)數(shù)字相加或相減時(shí)，它們的和或差的有效數(shù)字的保留應(yīng)以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少（即絕對(duì)誤差最大）的數(shù)為準(zhǔn)，將多余的數(shù)字修約后再進(jìn)行加減運(yùn)算。

例0-2　計(jì)算0.0121+25.64+1.05782的結(jié)果。

解：0.0121+25.64+1.05782=0.01+25.64+1.06=26.71

上面相加的三個(gè)數(shù)據(jù)中，25.64的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少，絕對(duì)誤差最大。因此應(yīng)以25.64為準(zhǔn)，保留有效數(shù)字位數(shù)到小數(shù)點(diǎn)后第二位。

（3）乘除運(yùn)算

幾個(gè)數(shù)相乘或相除時(shí)，它們的積或商的有效數(shù)字的保留應(yīng)以有效數(shù)字位數(shù)最少（相對(duì)誤差最大）的數(shù)為準(zhǔn)，將多余的數(shù)字修約后再進(jìn)行乘除。

例0-3　計(jì)算0.0121×25.64×1.05782的結(jié)果。

解：0.0121×25.64×1.05782=0.0121×25.6×1.06=0.328

三個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差分別為：

可見，0.0121的相對(duì)誤差最大，故應(yīng)以此數(shù)為準(zhǔn)，將其他各數(shù)修約為三位，然后再相乘。

對(duì)于含有對(duì)數(shù)和開方的運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)不變。如，c（H+）=6.3×10-12mol·L-1，pH=-lg（6.3×10-12）=11.20，。

若幾個(gè)數(shù)相乘或相除時(shí)，位數(shù)最少的首位數(shù)是8或9，則有效數(shù)字可多保留一位。例如，0.9×1.18，可將0.9看成2位有效數(shù)字，因?yàn)?.9與1.0的相對(duì)誤差相近，因此，0.9×1.18=1.1。

0.4.3　有效數(shù)字的應(yīng)用

（1）數(shù)據(jù)記錄

記錄測(cè)定結(jié)果時(shí)，只保留一位可疑數(shù)據(jù)。如在萬(wàn)分之一的分析天平上稱得某物體重0.2500g，只能記錄為0.2500g，不能記成0.250g或0.25000g。又如從滴定管上讀取溶液的體積為24.00mL時(shí)，不能記為24mL或24.0mL，只能記為24.00mL。

（2）儀器選用

有效數(shù)字的大小不僅體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的大小，也體現(xiàn)了所使用儀器的精度。因此，根據(jù)有效數(shù)字的大小和位數(shù)，可以選擇符合實(shí)驗(yàn)要求的儀器。如要求稱取約3.0g的樣品時(shí)，就不需要用萬(wàn)分之一的分析天平，用一般的臺(tái)秤稱量即可。

（3）結(jié)果的表示

分析煤樣品中含硫量時(shí)，若稱樣量為3.5g。兩次測(cè)定結(jié)果為0.042％和0.041％，不能表示為0.04200％和0.04100％。

（4）分析結(jié)果的評(píng)價(jià)

定量分析結(jié)果的好壞常用相對(duì)誤差、相對(duì)平均偏差、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差等數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)價(jià)。在修約這些數(shù)據(jù)時(shí)，一般保留不超過(guò)2位有效數(shù)字。

目前，計(jì)算器的使用已很普及，使用計(jì)算器作連續(xù)運(yùn)算時(shí)，不必對(duì)每一步的計(jì)算結(jié)果都進(jìn)行修約，但最后的計(jì)算結(jié)果應(yīng)按要求保留有效數(shù)字的位數(shù)。