宇宙體系

·The System of the World·

但很久以前人們就已發(fā)現(xiàn)，所有物體（允許忽略空氣的微小阻力）都在相同時間內(nèi)下落掠過相同距離；而且，借助于擺，時間的相等性以極大精度得到確認。

——牛頓

〔1〕天體是運動的。

在哲學的最早期，不少古人認為，恒星靜止于世界的最高部分；在恒星以下，行星繞太陽運行；地球作為行星之一，每年繞太陽運行一周，同時還繞其自身的軸自轉(zhuǎn)；而太陽位于宇宙的中心，它燃燒的熱溫暖整個世界。

這正是菲洛勞斯、薩莫斯的阿里斯塔克、成年的柏拉圖，以及整個畢達哥拉斯學派在很久以前所教導(dǎo)我們的哲學；更早的時候，阿那克西曼德也是這樣說的；古羅馬賢明的君主努瑪·彭皮留斯為了供奉維斯太（Vesta）神[6]，建造了圓形廟宇，并下令在其中央燃起永不熄滅的火焰，以象征以太陽為中心的世界圖像。

早先古埃及人觀察過天空。這種哲學很可能就是由他們傳播到其他民族的，因為與他們鄰近而且更致力于研究哲學而不是自然的古希臘人，正是由此發(fā)展出他們最初也是最完備的哲學學說的；在供奉維斯太女神的儀式中也能追溯到古埃及人的精神；這正是他們以宗教祭祀和象征文學的形式表達他們的神秘信念，即他們的哲學的方式，這種哲學高于一般的思維方式。

無可否認的是，在此前后，阿那克西哥拉、德謨克利特等人提出地球居于世界的中心，星辰繞居中不動的地球向西運行，有些較快，另一些則較慢。

然而，這兩種觀點都認為天體的運動是完全自由、不受阻力的。堅硬球殼的設(shè)想產(chǎn)生較晚，是由歐多克索斯（Edoxus）、卡里普斯（Calippus）和亞里士多德（Aristotle，公元前384—前322）提出的；到這時古代哲學已開始衰落，讓位于新近盛行的希臘人的想象。

但最為重要的是，彗星現(xiàn)象完全無法為實體軌道觀念所容忍。迦勒底人（Chaldeans），當時最飽學的天文學家們，認為彗星（前此古時的彗星被當作天體）屬于一種特殊的行星，它們沿偏心軌道運動，每當運動一周并落入其軌道較低部分時，即能顯現(xiàn)而為人們所看到。

當實體軌道假設(shè)盛行之際，一個不可避免的結(jié)論是，彗星應(yīng)當位于低于月球的空間中，因而，當后來的天文學家觀測到彗星處于先前更高的古時位置時，就必須把累贅的實體軌道從天體空間中清除出去。

〔2〕在自由空間中圓周運動的原理。

在此以后，我們對古代人以什么方式解釋行星被維系于自由空間中的有限范圍內(nèi)，不斷偏離屬于其自身的直線路徑，而沿曲線軌道作規(guī)則環(huán)繞運動這樣的問題，實在是一無所知；可能用已被采納的實體軌道解決這一困難也有令人滿意之處。

后來自詡能解決這一問題的哲學家，或是訴諸于某種渦旋的作用，如開普勒和笛卡兒；或是提出某種其他的沖力或吸引力的原理，如波萊里、胡克，以及我們英國的一些學者；因為根據(jù)運動規(guī)律，這些現(xiàn)象肯定是由某種力或其他作用引起的。

不過，我們的目的僅在于由現(xiàn)象探尋這種力的量和特性[7]，并用我們在某些簡單情形中發(fā)現(xiàn)的原理，以數(shù)學方法推測涉及更復(fù)雜情形的現(xiàn)象，因為把每一種特殊情形都訴諸于直接而實時的觀測是件無窮無盡的事，也是不可能的。

我們曾以數(shù)學的方式說過，要回避與此力的特性或性質(zhì)有關(guān)的所有問題，它們不是通過決定采取某種假設(shè)就能理解的，因此用一個普適的名稱——向心力來稱呼它，表明它是指向某個中心的力；而由于它與位于該中心的特殊物體有關(guān)，又稱之為繞日的、繞地球的、繞木星的；對于與其他中心物體有關(guān)的力，也作相似稱呼。

〔3〕向心力作用。

如果考慮一下拋體的運動，就易于理解是向心力使行星維系于某些軌道上[8]；因為被拋出的石頭在其自身重力的作用下偏離直線路徑，而這本應(yīng)是單獨受拋出作用所遵循的，并在空氣中掠過一段曲線；它沿此彎曲路徑最終落到地面；被拋出的速度越大，落地以前飛行得越遠。因而我們可以設(shè)想，拋出速度這樣增大，使得物體落地前相應(yīng)掠過長為1，2，5，10，100，1000英里的弧，直至最后越過地球的限制，進入不再接觸地球的空間。

令A(yù)FB表示地球表面，C為其中心，VD, VE, VF為物體應(yīng)掠過的曲線，如果自高山之巔沿水平方向先后以增大的速度拋物的話[9]；因為天體運動在空間中只受到極小的阻礙或完全不受阻礙，保持著單純的形式。我們可以設(shè)地球周圍沒有空氣，或至少可以設(shè)空氣阻力極小或沒有阻力；出于相同理由，以最小速度被拋出并沿最短弧VD運動的物體，以及以較大速度被拋出并沿較大弧VE運動的物體，在拋出速度增大時，將飛行得越來越遠，達到F和G；而如果再繼續(xù)增大速度，則它最后將完全脫離地球表面，回到先前被拋出的山上。

由于在這種運動中，由伸向地球中心的半徑所掠過的面積（由《原理》第一編命題1）正比于掠過該面積所用的時間，當物體回到該山峰時，其速度不小于原先的拋出速度；因而，由相同的定律知，它以相同的速度一次又一次地掠過相同的曲線。

如果我們現(xiàn)在設(shè)想沿水平方向自更高的高度拋出物體，如5，10，100，1000英里，或更高，或干脆自若干個地球半徑處拋出，則根據(jù)速度的不同，以及在不同高度處引力的不同，這些物體將掠過不同的與地球共心的圓弧或偏心圓，像行星在其軌道上運動那樣在天空中環(huán)繞。

〔4〕證據(jù)的可靠性。

由于沿斜向拋出物體，即沿除豎直方向以外的任意方向拋出時，物體自拋出直線方向上連續(xù)偏折而落向地面，正是它受地球吸引的證據(jù)，其可靠性不亞于物體由靜止自由落向地面；因而，在自由空間中運動的物體偏離直線路徑，并由此連續(xù)落向任一處所，正是存在著某種力自一切方面把這些物體拉向該處所的確鑿證據(jù)。

而且，由于假設(shè)引力的存在，必定導(dǎo)致地球附近的所有物體都會下落，它們或是由于自由落下而直接落向地球，或是由于被斜向拋出而連續(xù)偏離直線方向落向地球；因而，由存在著指向任意中心的力的假設(shè)，將同樣必然導(dǎo)致所有物體在這種力的作用下或是直接落向該中心，或至少是連續(xù)偏離直線方向，如果它們原先是沿該直線作斜向運動的話。

至于如何由已知運動推導(dǎo)出這種力，或由已知力求解這種運動，已在《原理》的前兩編中給出過。

如果設(shè)地球是靜止的，恒星在自由空間中作24小時的環(huán)繞，則使這些恒星維系于其軌道的力當然不是指向地球，而是指向這些軌道的中心，即指向若干平行圓環(huán)的中心，恒星則每天沿這些圓環(huán)落向赤道的一側(cè)，另一些則由此升起；由恒星伸向軌道中心的半徑所掠過的面積，嚴格正比于運行時間。這樣，因為周期時間是相等的（由《原理》第一編命題4推論3），向心力正比于各軌道的半徑，恒星則沿同一軌道連續(xù)運行。類似的結(jié)果也可以從行星作周日運動[10]的假設(shè)推出。

如果說這些力不應(yīng)指向它們實際上賴以存在的物體，而應(yīng)指向地球軸上無數(shù)個想象的點，這樣的假設(shè)太別扭了，但如果說這些力嚴格地正比于到這個軸的距離而增大則更加別扭；因為這實際上是說它們會增加到極大，或干脆說增大到無限，而自然事物的力一般都是在遠離它們得以產(chǎn)生處減小的。然而，更荒謬的是，同一顆恒星所掠過的面積既不正比于時間，它的環(huán)繞也就不沿同一軌道進行；因為當恒星遠離兩極附近時，面積與軌道都增大；而面積的增大表明力并不指向地軸。這一困難（見《原理》第一編命題2推論1）是由恒星的視二重運動所引起的：一是繞地軸的周日運動；另一是繞黃道軸緩慢運動。對它的解釋需要訴諸于復(fù)雜而變化的多種力的合成，很難在某種物理理論中加以協(xié)調(diào)。

〔5〕向心力指向行星的單一中心。

因此，我認為向心力實際上指向太陽、地球以及其他行星的星體。

月球環(huán)繞我們的地球，其伸向地球中心的半徑[11]所掠過的面積近似正比于掠過這些面積的時間，正如其速度與其視直徑相關(guān)一樣明顯，因為當它的直徑較小時（因而其距離較大）運動較慢，而直徑較大時運動較快。

木衛(wèi)星繞木星的環(huán)繞更規(guī)則些[12]；因為就我們的感官可知覺的程度上而言，它們以均勻速度繞木星作共心圓運動。

土衛(wèi)星繞土星的運動[13]也近似為圓并且是勻速的，迄今止尚未觀測到有偏心干擾。

金星與水星繞太陽運行，這可以由它們的類月相變化來證明[14]；當它們呈滿月狀時，總是位于其軌道上相對于地球而言比太陽較遠的一側(cè)；當它們呈半虧狀時，位于斜向太陽一側(cè)；當呈新月狀時，則位于地球與太陽之間，有時還掠過太陽表面，這時正好位于地球與太陽之間的連線上。

金星的運動幾乎是均勻的，它的軌道近似為圓且與太陽共心。

但水星運動稍有偏心，它明顯地先趨近太陽，隨后又遠離之；而且總是在靠近太陽時運動較快，因而其伸向太陽的半徑掠過的面積仍正比于時間。

最后，地球繞太陽運動，或太陽繞地球運動，二者之間的半徑掠過的面積嚴格正比于時間，這可以由太陽的視直徑與其視運動的比較加以證明。

這些都是天文學實驗。由此，通過《原理》第一編命題1，2，3及其推論，可得出結(jié)論，向心力實際上（或是精確的，或是沒有明顯誤差的）指向地球、木星、土星和太陽的中心。對于水星、金星、火星等較小行星，尚需更多實驗，但由類比可知結(jié)論必定是一致的。

〔6〕向心力反比于到行星中心距離的平方減小。

第一編命題4推論6指出這些力反比于到每個行星中心距離的平方減小；因為木衛(wèi)星周期時間相互間的比[15]正比于它們到該行星中的距離的3/2次冪。

很久以前即已在這些衛(wèi)星上觀測到這一比值；弗拉姆斯蒂德先生（John Flamsteed，1646—1719）經(jīng)常利用千分儀和衛(wèi)星食虧測量它們到木星的距離，他曾寫信告訴我，該比值的精確性滿足我們感官的一切要求。他也告訴我，用千分儀測出的軌道大小，并換算為木星到地球或到太陽的平均半徑，較之運動時間，列表如下：

由此容易看出距離的3/2次冪關(guān)系。例如：

略去在觀測中無法可靠測定的不大的分數(shù)。

在發(fā)明千分儀以前，測得的相同距離換算成木星半徑為：

發(fā)明千分儀后測得：

這四顆衛(wèi)星的周期時間，根據(jù)弗拉姆斯蒂德的觀測，分別為1d18h28min36s，3d13h17min54s，7d3h59min36s，16d18h5min13s。

①“d”“h”“min”“s”分別為“天”“小時”“分”“秒”的符號。

由此求得的距離為5.578，8.878，14.168，24.968，與觀測值精確吻合。

卡西尼證實土星衛(wèi)星的同樣比值[16]也與我們的理論一致。但要獲得關(guān)于這些衛(wèi)星的可靠的精確的理論，尚需長期觀測。

在太陽的衛(wèi)星中，根據(jù)最優(yōu)秀的天文學家確定的軌道尺寸，水星和金星的同一比值極為精確。

〔7〕遠距離行星繞太陽運行，其伸向太陽的半徑所掠過面積正比于時間。

火星繞太陽運行可由其相面變化和視直徑的比值證明[17]；因為它在與太陽的交會點附近呈滿相，在方照點呈凸狀，因而它肯定是繞太陽運行的。

由于它在與太陽的對點時直徑5倍大于位于交會點時，且其到地球的距離反比于其視直徑，因而它在對點時的距離5倍小于位于交會點時；但在這兩種情形中它到太陽的距離與它位于方照點呈凸狀時的距離近似相等。又由于它在幾乎相等的距離上繞太陽運行，但相對于地球表現(xiàn)出極不相同的距離，因而它伸向太陽的半徑掠過的面積近似于均勻，而伸向地球的半徑則時而較快，時而停止，時而逆行。

高于火星軌道的木星，也類似地環(huán)繞太陽，其運動近似均勻，由此我推出它的距離與面積也是均勻的。

弗拉姆斯蒂德先生在通信中向我保證，迄今為止所有受到詳盡觀測的內(nèi)層衛(wèi)星其食虧都與他的理論良好吻合，誤差從未超過2min時間；對于外層衛(wèi)星則誤差稍大；除一例外，誤差很少超過3倍時間；內(nèi)層衛(wèi)星除一例的誤差的確很大外，都與他的計算相一致，精度不亞于月球運動與通用星表的吻合；而他只是根據(jù)呂莫先生發(fā)現(xiàn)并導(dǎo)出的光均差對平均運動加以校正求得這些食虧時間的。那么，設(shè)理論與上述外層衛(wèi)星的運動誤差小于2′，取周期時間16d18h5min13s：2min，則一個圓周360°：1′48″也同此值，那么弗拉姆斯蒂德先生計算的誤差換算為衛(wèi)星軌道，將也小于1′48″，即由木星中心看去，衛(wèi)星的經(jīng)度可以小于1′48″誤差的精度加以確定。而當衛(wèi)星位于中間陰影中時，該經(jīng)度與木星的日心經(jīng)度相同；所以，弗拉姆斯蒂德先生所遵循的假設(shè)，即哥白尼體系，經(jīng)開普勒改進，（就木星運動而言）以及他本人的校正，在經(jīng)度測算方面誤差小于1′48″；而由這種經(jīng)度，配合以歷來易于測量的地心經(jīng)度，即可求出木星到太陽的距離；因而，其結(jié)果必定與假設(shè)完全相同。由于在日心經(jīng)度中產(chǎn)生的1′48″誤差幾乎看不出來，完全可以忽略，它也許來自于某顆迄未發(fā)現(xiàn)的衛(wèi)星的偏心運動；但由于經(jīng)度與距離都能正確確定，必然導(dǎo)致木星由其伸向太陽的半徑，在這種情況下所掠過的面積正比于假設(shè)所需，即正比于時間。

根據(jù)惠更斯先生（Christiaan Haygens，1629—1695）和哈雷博士（Edmond Halley，1656—1742）的觀測，由土衛(wèi)星也可以推出土星的相同結(jié)論；雖然這一結(jié)論尚需長期觀測加以檢驗，并作足夠精確的推算。

〔8〕約束較遠行星的力并不指向地球，而是指向太陽。

因為，如果從太陽上看木星，它絕不會顯現(xiàn)出駐留或逆行，如同有時在地球所見的那樣，而總是近似勻速地順行[18]。而由其視地心運動的極大不等性，可推出（由第一編命題3推論4），使木星偏離其直線路徑沿軌道環(huán)繞的力并非指向地球的中心。火星與土星也很好地符合這一結(jié)論。因此，應(yīng)該為這些力另外尋求一個中心（由第一編命題2和3以及后者的推論），繞此中心半徑所掠過的面積應(yīng)當是均勻的；那就是太陽，我們已就火星和土星的情形作過近似的證明，而木星則有足夠的精度。有人會提出異議，說太陽與行星都在平行方向上受到某種其他力的同等推動；但這樣的力（由運動定律推論6）不會改變行星間的相互位置，也不產(chǎn)生明顯的效應(yīng)：我們的職責僅在于找出明顯效應(yīng)的原因。所以，讓我們把每一種這樣的力當作想象和臆測加以忽略，它們無補于對天體現(xiàn)象的解釋；而余下的使木星受到推動的全部的力（由第一編命題3推論1）則指向太陽中心。

〔9〕太陽周圍的向心力在行星空間中反比于到太陽距離的平方減小。

無論是像第谷那樣把地球置于宇宙中心，還是像哥白尼那樣把太陽置于宇宙中心，各行星到太陽的距離都是相同的。我們業(yè)已就木星的情形證明這兩種距離確實相等。

開普勒與波里奧曾精心測定各行星到太陽的距離，因此他們列出的星表與天象吻合最好。在所有的行星中，木星與火星、土星與地球，以及金星與水星，其距離的立方比等于周期的平方比；所以（由第一編命題4推論6），太陽周圍貫穿整個行星區(qū)域的向心力反比于到太陽距離的平方減小。為檢驗這一比例，我們需使用平均距離，或軌道的橫向半徑（由第一編命題15），并略去小數(shù)。因為它們可能是在測定軌道時由看不見的觀測誤差引入的，或可能是由我們將在以后解釋的原因所引起的。這樣，我們將總是看到上述比例精確成立；因為土星、木星、火星、地球、金星和水星到太陽的距離，是由天文學家的觀測得到的，根據(jù)開普勒的計算，其數(shù)值為951000，5196500，152350，100000，72400，38806；根據(jù)波里奧的計算，其數(shù)值為954198，522520，152350，100000，72398，38585；而由周期時間求出的值為953806，520116，152399，100000，72333，38710。開普勒與波里奧求得的距離與由周期時間求得的介于他們之間的值，在差別最大時也很難為視覺所區(qū)分。

〔10〕地球周圍的力反比于到地球距離的平方減小。這一結(jié)論以地球靜止為假設(shè)。

我這樣推出地球周圍的力類似地反比于距離的平方減小：

月球到地球的平均距離，換算為地球半徑，據(jù)托勒密、開普勒的《星歷表》，波里奧、赫維留和里奇奧利的測算為59；弗拉姆斯蒂德的值；第谷的值；凡德林為60；哥白尼為60；基爾舍爾[19]。

但是，第谷，以及所有沿用他的折射星表的人，都取太陽和月光的折射大于恒星光的折射（這與光的本性完全沖突），在地平方向上約大4′或5′，從而使月球的地平視差增大相同的分數(shù)；即，使整個視差增大約1/12或1/15。糾正這一誤差后，該距離變?yōu)?0或61個地球半徑，與其他人確定的值近似相等。

然后，讓我們設(shè)月球的距離為60個地球半徑，其相對于恒星的周期時間為27d7h43min，與天文學家測定的值相同。而（由第一編命題4推論6）在假設(shè)靜止的地球表面上空氣中轉(zhuǎn)動的物體，在一個與位于月球處的向心力的比反比于到地球中心距離的平方，即反比于3600:1的向心力的作用下，將（排除空氣阻力）在1h24min27s時間內(nèi)完成環(huán)繞。

設(shè)地球周長123249600巴黎尺[20]，與后來在法國測定的值相同[21]，則同一物體在喪失其圓運動后，在與先前相同的向心力作用下一秒時間內(nèi)下落的距離巴黎尺。

這一結(jié)果是在第一編命題34中導(dǎo)出的，它與我們對地球附近的物體的觀測相一致。因為根據(jù)單擺實驗，以及有關(guān)的計算，惠更斯證明在地表附近所有受這種向心力作用的物體（不論其性質(zhì)如何），在一秒鐘內(nèi)下落的距離都巴黎尺。

〔11〕假設(shè)地球運動時的同一證明。

如果設(shè)地球運動，地球與月球（由運動定律推論4以及第一編命題57）將繞它們的公共重心轉(zhuǎn)動。而月球（由第一編命題60）將以同一周期27d7h43min，在同一反比于距離平方減小的地心力作用下，沿一個軌道運動，其半徑與前者軌道的半徑，即與60個地球半徑的比，等于地球與月球兩者的和，與該和與地球的立方比；即，如果設(shè)月球（鑒于其視直徑）約為地球的1/42，則等，或約等于128:127。所以軌道半徑，即月球與地球中心間的距離，在此情形下個地球半徑，幾乎與哥白尼測定的值相同，這是第谷測定的值所無法推翻的；所以，該力的減小量的平方比值與該距離吻合很好。在此，我略去了太陽作用引起的軌道增量，因其量甚微；但如果減去這個量，實際距離將剩個地球半徑。

〔12〕向心力的減小反比于到地球和行星的距離，這也可以由行星的偏心率和回歸點的緩慢運動加以證明。

這種力的減量的比例還可以進一步[22]通過行星的偏心率和它們回歸點的緩慢運動加以證明；因為（由第一編命題45的推論）任何其他比例都不能使太陽周圍的行星在每次環(huán)繞中到達最近點后又升離到距太陽最遠點，并使這些距離的變化保持不變。對平方比值的很小誤差都會使回歸點運動在每次環(huán)繞中變得顯著，而多次環(huán)繞則使回歸點產(chǎn)生巨大偏移。

但是在經(jīng)過無數(shù)次環(huán)繞后，我們今天仍很難察覺諸行星繞日軌道的這種運動。某些天文學家堅信不存在這樣的運動；其他人則認為它不大于由下述原因所輕易地產(chǎn)生的運動，這種原因?qū)τ谘巯碌膯栴}是無關(guān)緊要的。

我們甚至可以忽略月球的回歸點運動[23]，它遠大于繞太陽的行星，每次環(huán)繞達3°之多；這種運動證明地球周圍的力其減小不小于平方反比比例，但卻遠大于距離的立方反比；因為，如果平方關(guān)系逐漸演變?yōu)榱⒎疥P(guān)系，則回歸點運動將變?yōu)闊o限；所以，極小的變動都會引起月球回歸點的極大運動。這種緩慢運動是太陽周圍的力引起的，我們將在后面作出解釋。排除此原因，月球的回歸點或遠日點將保持固定，地球周圍的力隨到地球距離的不同而作平方遞減的關(guān)系將精確成立。

〔13〕指向單個行星的力的強度；巨大的太陽力。

既有了這個比例關(guān)系，我們就可以來比較各行星所受力的大小[24]。

在木星到地球的平均距離上，其最外面的衛(wèi)星到木星中心的最大距離（根據(jù)弗拉姆斯蒂德先生的觀測）為8′13″；因而該衛(wèi)星到木星中心的距離比木星到太陽中心的平均距離等于124:52012，但比金星到太陽中心的平均距離為124:7234；它們的周期時間，由此（根據(jù)第一編命題4推論2），用時間的平方除以距離，即可得出使該衛(wèi)星被引向木星的力比使金星被引向太陽的力等于443:143；如果按距離比124:7234的平方反比減小衛(wèi)星所受到的力，則可知木星周圍的力在金星到太陽的距離上比使金星受到吸引的太陽力，等或等于1:1100；所以，在相同距離處，太陽力1100倍大于木星力。

由土星衛(wèi)星的周期時間15d22h，以及它到土星的最大距離，當該行星處于其與我們之間的平均距離上時，3′20″。通過類似的計算，可知該衛(wèi)星到土星中心的距離比金星到太陽的距離等于；因此太陽的絕對力2360倍大于土星的絕對力。

〔14〕微弱的地球力。

由金星、木星和其他行星的正規(guī)日心運動和非正規(guī)地心運動，顯而易見的（由第一編命題3推論4）是地球的力比之太陽力極為微弱。

里奇奧利和凡德林都曾試圖由望遠鏡觀測到的月球半圓推算太陽視差，他們一致認為其值不超過半分。

開普勒根據(jù)第谷和他本人的觀測，未曾發(fā)現(xiàn)火星的視差，甚至在位于對日點時其視差應(yīng)略大于太陽視差時也是如此。

弗拉姆斯蒂德也試圖在火星位于近地點時用千分儀觀測同一視差，它從未超過25″；因此得出太陽視差至多為10″。

由此可推算出月球到地球的距離比之地球到太陽的距離不大于29:10000；而比之金星到太陽的距離不大于29:7234。

由這些距離，輔之以周期時間，運用上述方法，易推算出絕對太陽力至少229400倍大于地球的絕對力。

雖然我們由里奇奧利和凡德林的觀測只能肯定太陽的視差小于0.5′，但由此能斷定太陽的絕對力大于地球絕對力8500倍。

〔15〕行星的視直徑。

我運用類似的計算得到了一個各行星的力與星體大小的類似關(guān)系；在解釋這一類似之前，必須確定各行星在其到地球的平均距離上的視直徑。

弗拉姆斯蒂德先生[25]運用千分儀測得木星直徑為40″或41″；土星環(huán)直徑為50″；太陽直徑約32′13″。

根據(jù)惠更斯先生和哈雷博士的觀測，土星直徑比其環(huán)直徑為4:9；伽列特給出的值為4:10；而胡克（用60英尺長的望遠鏡）為5:12。取中間值，5:12，土星星體直徑約為21″。

〔16〕視直徑的校正。

上述種種都是視尺寸；但是，因為光的不相等偏折，望遠鏡中所有的光點都有擴散，致使在物鏡焦點處形成一個寬約為物鏡口徑1/50的圓形空間。

誠然，光的邊緣處如此模糊以至很難辨認，但在靠近中間時，光強較大，足以看到，它形成一個小亮圈，其寬度隨亮點的亮度而變，但一般約為總寬度的1/3，1/4或1/5。

令A(yù)BD表示整個光圈；PQ為較亮較清晰的小圓；C為二者的中心；CA, CB為大圓的半徑，在C處形成直角；ACBE為這兩個半徑構(gòu)成的正方形；AB為該正方形的對角線；EGH為以C為中心、以CA, CB為漸近線的雙曲線；PG為由任意點P作向直線BC的垂線，與雙曲線相交于G，與直線AB, AE相交于K和F：則在任意點P的光強，根據(jù)我的計算，將正比于FG，因為在中心為無限大，而靠近邊緣時極小。在小圓PQ內(nèi)的總光量比其外的總光量等于四邊形CAKP比三角形PKB，我們所要知道的，是在劃定小圓PQ的地方，光強FG開始弱于視覺所需。

M.皮卡德用了3英尺長的望遠鏡觀測位于191382英尺遠的直徑為3英尺的火焰，發(fā)現(xiàn)其寬度為8″，實際上只應(yīng)有3″14″；而用望遠鏡觀測到的亮恒星直徑為5″或6″，且光斑較亮；但星光較弱時，其寬度變大。類似地，赫維留通過減小望遠鏡口徑，的確消去很大一部分邊緣光，使恒星光斑更為清晰可辨，雖然光斑變小了，但直徑仍達5″或6″。而惠更斯先生只是用微弱煙塵罩住目鏡，卻有效地消去了發(fā)散光，恒星僅顯現(xiàn)為亮點，無法測量其寬度。還是惠更斯先生，根據(jù)擋住行星光的物體的寬度，估算出行星直徑要大于其他人用千分儀測得的值；因為發(fā)散光原先在行星光強較大時無法看到，當行星被遮掩時，卻向周圍擴散很遠。最后，正是出于這一理由，當行星投映在太陽光盤上時，由于失去了發(fā)散光，顯得極小。赫維留、伽列特和哈雷博士認為水星似乎不超過12″或15″；克賴伯特里先生認為金星僅1′13″；霍羅克斯認為僅1′12″；雖然根據(jù)赫維留和惠更斯在太陽光盤以外的測定，它至少應(yīng)為1′24″。這樣，在1684年日食以前和以后幾天，月球的視直徑，在巴黎天文臺測得為31′30″，而在日食時似乎不超過30′或30′05″；所以，當行星位于太陽以外時應(yīng)將其直徑減小幾秒，而在太陽內(nèi)時應(yīng)增大幾秒。不過千分儀的測量誤差似乎較通常為小。所以，弗拉姆斯蒂德先生利用衛(wèi)星食虧測得的陰影直徑發(fā)現(xiàn)，木星半徑比其到最遠的衛(wèi)星的最大距離為1:24.903。所以，由于該距離為8′13″，木星直徑應(yīng)；消去發(fā)散光，由千分儀測得的直徑40″或41″應(yīng)減；土星直徑21″也應(yīng)作類似校正，估計為20″或更小些。不過（如果我沒有錯的話）太陽直徑，由于它的亮度極大，應(yīng)減小更多些，估計約為32′或32′6″。

〔17〕為什么有些行星密度大，另一些密度小，但所有行星的力卻都正比于物質(zhì)的量？

大小差別如此之大的物體，都近似地正比于它們的力，這并非沒有什么神秘[26]。

可能較遠的行星由于缺乏熱而沒有我們地球所富有的金屬物質(zhì)和多種礦物；至于金星和水星星體，由于受太陽熱暴曬較多，也應(yīng)更加焦灼，更加密實。

因為根據(jù)燃燒玻璃實驗，熱隨光強而增加；光強反比于到太陽的距離而增大；因此水星受太陽熱7倍于我們在夏季的太陽熱。但這種熱會使水沸騰；也會使重流體如水銀和礬油慢慢地蒸發(fā)，我曾用溫度計做過實驗；所以在水星上不可能有流體，而只有沉重且能耐高熱的物質(zhì)，它們的密度極大。

如果上帝曾將不同的物體放置在到太陽的不同距離上，為什么不使較密的物體占據(jù)較近的位置，使每個物體都達到適宜于它的條件和結(jié)構(gòu)的熱度呢？本著這一考慮，所有行星相互間的重量比等于它們的力之比是再好不過的了。

不過，要是能精確測定行星的直徑，我也將為之而高興；如果在很遠的距離上點燃一盞燈，使它的光透過一個小圓孔，并使小孔與燈光都這樣減小，使得通過望遠鏡看去它的像與行星一樣，并可以用同樣的方法加以測定，則可以做到這件事：這樣小孔直徑比它到物鏡的距離將等于行星的真實直徑比它到我們的距離。燈光的減弱可通過間隔以布塊或涂煙玻璃來實現(xiàn)。

〔18〕天體還展示了力與被吸引物體間的另一種類似關(guān)系。

我們曾論及觀測到的力與被吸引物體之間的另一種類似關(guān)系[27]。因為作用于行星的向心力反比于距離平方減小，而周期時間卻正比于距離的3/2次冪增大。顯然，向心力的作用，進而周期時間對于到太陽距離相等的相等行星而言是相等的；而對于距離相等的不等行星，向心力的總作用應(yīng)正比于行星星體；因為如果該作用不正比于被推動物體，它們即不能在相等時間內(nèi)把這些物體由其軌道切線上同等地拉回：如果太陽力不是按各自的重量同等地作用于木星及其所有衛(wèi)星之上，則木星衛(wèi)星也絕不會作如此規(guī)則的運動。由第一編命題65推論1和2知，同樣情形也適用于土星與其衛(wèi)星，以及我們地球與月球的關(guān)系。所以，在相等的距離上，向心力按各星體的大小，或按各星體物質(zhì)的量的多少同等地作用于所有行星之上。出于相同理由，該力也必定同等地作用于所有構(gòu)成行星的大小相同的微粒之上；因為，如果該力對某種微粒的作用大于其他，其比例正比于物質(zhì)的量，則它將不僅正比于物質(zhì)的量，而且還將類似地正比于某種物質(zhì)的多寡而對整個行星的作用產(chǎn)生大小之別。

〔19〕地面物體也可以證明。

地球上有許多種這樣的物體，我曾十分仔細地檢驗過這種類似關(guān)系[28]。

如果地球力的作用正比于被移動物體，則（由第二運動定律）可以在相等時間內(nèi)使它們以相等速度運動，且使所有下落物體在相等時間內(nèi)掠過相等距離，并使所有以相等細繩懸掛起來的物體都作等時擺動。如果該力的作用較大，則時間變短；如果較小，則時間較長。

但很久以前人們就已發(fā)現(xiàn)，所有物體（允許忽略空氣的微小阻力）都在相同時間內(nèi)下落掠過相同距離；而且，借助于擺，時間的相等性以極大精度得到確認。

我曾用金、銀、鉛、玻璃、沙、食鹽、木塊、水，以及小麥做過實驗。我制作了兩只相等的木箱，在一只中裝滿木塊，在另一只的擺動中心處懸以相等重量（盡我所能）的金。兩只箱子都以11英尺長的細繩懸掛起來，制成重量與形狀完全相同的兩只擺，它們受到的空氣阻力也一樣，且將二者并列放置，我對它們幅度相同的共同前后擺動作了長時間觀察。所以（由第二編命題24推論1和2），金的物質(zhì)的量比木的物質(zhì)的量等于所有施加于金的運動力的作用比所有施加于木的運動力的作用，即等于其一的重量比另一個的重量。

通過這些實驗，在重量相等的物體中，可以發(fā)現(xiàn)小于總重量1/1000的物質(zhì)差別。

〔20〕上述相似的一致性。

由于在相等距離上向心力對被吸引物體的作用正比于這些物體物質(zhì)的量，理所當然地也要求它正比于吸引物體物質(zhì)的量。

因為所有的作用都是相互的，而且（由第三運動定律及其附注）使物體相互趨近，因而在雙方物體必定是相等的。的確，我們可以把一個物體看作是吸引的，而另一個是被吸引的；但這種區(qū)分與其說是自然的，不如說是數(shù)學的。吸引作用實際上存在于每個物體與另一個之間，因而二者同屬一類。

〔21〕它們的一致性。

因此，在雙方都存在吸引力。太陽吸引木星和其他行星；木星吸引其衛(wèi)星；而由相同理由，衛(wèi)星相互間以及對木星都有作用，所有行星相互間也都有作用。

雖然可以把兩個行星的相互作用區(qū)分為二，使每一個吸引另一個，但由于這些作用存在于二者之間，它們并不產(chǎn)生兩次，而是在二者之間產(chǎn)生一次作用。兩個物體可以通過其間的繩索收縮而相互吸引。有兩次作用的原因，即兩個物體的位置，以及只要認為兩個物體受到作用就有雙重作用；但在兩個物體之間，僅僅有一次。不是一次作用使太陽吸引木星，另一次使木星對太陽吸引，而是太陽與木星的相互吸引使二者相互趨近，其作用只有一次。太陽對木星的吸引作用，使得木星與太陽企圖相互趨近（根據(jù)第三運動定律）；而木星對太陽的吸引作用，也類似地使木星與太陽企圖相互趨近。但太陽并沒有受雙重作用而被吸引向木星，木星也沒有受雙重吸引而趨近太陽；中間只有一次作用，它使二者相互趨近。

鐵就是這樣吸引磁石[29]，磁石也這樣吸引鐵；因為所有靠近磁石的鐵都吸引其他的鐵。但磁石與鐵之間的作用只有一個，哲學家也認為只有一個。的確，鐵對磁石的作用正是磁石本身與鐵之間的作用，它使二者企圖相互趨近。這顯然是事實；因為如果移開磁石，鐵的全部力幾乎都消失了。

由此看來，我們應(yīng)把兩個行星間存在的單一作用視為雙方的共同本性使然；這作用駐留于二者的不變關(guān)系中，如果它正比于其一物質(zhì)的量，則也應(yīng)正比于另一個物質(zhì)的量。

〔22〕相對極小的物體其力難以估計。

也許有人會詰難說，根據(jù)這一哲學[30]，所有物體都應(yīng)相互吸引，但這違背地面物體實驗的事實。我的回答是：地面物體實驗不能說明問題，因為均勻球體的吸引作用在其表面附近（由第一編命題72）正比于其直徑。因此，直徑1英尺的球體，其性質(zhì)與地球相似，對其表面附近小物體的吸引力，2×107倍小于地球?qū)ζ浔砻娓浇∥矬w的吸引力；而如此之小的力不能產(chǎn)生可察覺的效應(yīng)。如果兩個這樣的球體相距僅1/4英寸，則它們甚至在沒有阻力的空間中，在少于一個月的時間內(nèi)也不會因相互間的吸引力而合并到一起；較小的球并到一起的速度更慢，即正比于它們的直徑。而且，即使整座大山也不足以產(chǎn)生任何明顯的效應(yīng)。一座3英里高、6英里寬的半球形山峰，其吸引力將不足以使單擺移出其垂直位置二分；唯有像行星那樣大的物體，這些力才是可感知到的，除非我們對小物體采取下述方法。

〔23〕指向所有地面物體的力都正比于它們物質(zhì)的量。

令A(yù)BCD（運動定律附注插圖）表示地球球體，它被任意平面AC分為兩部分ACB和ACD。ACB部分以其全部重量擠壓ACD部分；如果ACD部分不以相等的反向壓力對抗，則它無法承受這一壓力并保持不動。所以，兩個部分相互間以其重量壓迫對方，即，根據(jù)第三運動定律，相互間同等地吸引；如果把它們分離后再加以釋放，則它們將以反比于球體的速度相互趨近。所有這些都可以通過磁石試驗得到驗證，其被吸引部分并不推動吸引部分，而只是停靠在一起。

現(xiàn)在，設(shè)ACB表示地球表面上某個小物體；則，因為該微粒與地球其余部分ACD間的相互吸引是相等的，但微粒向著地球的吸引（或其重量）正比于微粒的物質(zhì)的量（我們已在單擺實驗中證明過），則地球向著微粒的吸引也將類似地正比于微粒的物質(zhì)的量；所以，所有地球物體的吸引力都正比于各自的物質(zhì)的量。

〔24〕這說明同樣的力指向天體。

因此，正比于所有形式的地球物體的力[31]，不隨形式而變化，它必定可以在一切種類的物體中找到，天體的以及地球的物體，這力都正比于其物質(zhì)的量，因為所有的物體并沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是狀態(tài)和形式不同而已。天體更證明了這一點。我們曾證明過太陽力對所有行星（設(shè)距離相同）的作用正比于行星的物質(zhì)的量；木星力對木衛(wèi)星的作用也遵從同樣規(guī)律。這一規(guī)律還適用于所有行星對某一行星的吸引，其前提是（由第一編命題69）它們的吸引力正比于各自物質(zhì)的量。