1.8 內力分析方法

1.8.1 力法

1.基本結構

對超靜定結構，去掉多余約束，使原結構變成靜定結構，這樣形成的靜定結構稱為基本結構。如圖1.8-1a去掉支座B的約束，就得到基本結構，如圖1.8-1b所示。原結構變為圖1.8-1c，其中X₁為多余約束中產生的約束力。

圖1.8-1 基本結構

2.力法方程

基本結構在B點的豎向位移必須為零，即

δ₁₁X₁+Δ_1p=0 （1.8-1）

式中，δ₁₁為基本結構在X₁=1作用下沿X₁的指向引起的位移；Δ_1p為基本結構在荷載P作用下沿X₁的指向引起的位移。δ₁₁稱為系數，Δ_1p稱為自由項。方程（1.8-1）稱為力法方程。

為計算系數和自由項，繪出M_p圖和 圖，如圖1.8-2所示。應用圖乘法求得

求解力法方程，得 （↑）。多余力X₁求得后，繪內力圖，這是靜定結構的計算問題。但是，在力法分析中采用以下疊加公式計算M，即

圖1.8-2 M_p圖和M₁圖

上述公式對結構上的任何點均適用。先選定若干控制點，求出這些點上的M值，然后繪制M圖。例如

最后繪制M圖，如圖1.8-3所示。

3.力法典型方程

對于n次超靜定結構，可去掉n個多余約束，得到靜定的基本結構。將n個多余力視作附加荷載與原來的荷載一起加在基本結構上。利用n個多余約束處已知的位移條件，建立求n個多余力的力法方程，稱為力法典型方程。

圖1.8-3 M圖

式中，δ_ii稱為主系數（永遠為正值），δ_ij（i≠j）稱為副系數（可正可負），Δ_iP稱為自由項。Δi為約束i處的已知位移。

顯然，δ_ij=δ_ji。

應用疊加法計算截面的M值

然后繪出最后彎矩圖。根據彎矩圖，再按各桿隔離體平衡條件，求出桿端剪力，繪制剪力圖。根據剪力圖，可用類似的方法繪出軸力圖。

1.8.2 力矩分配法

力矩分配法適用于計算無節點線位移的剛架和連續梁。

1.幾個術語

（1）桿端轉動剛度 所謂桿端轉動剛度是指一根桿結構（梁）ik，i端不發生移動只轉動一個單位轉角，i端需要施加多大的力矩，即為ik桿i端的轉動剛度，用S_ik表示。兩端固定桿，S_ik=4i；一端固定另端鉸支桿，S_ik=3i；一端固定另端滑動支座桿，S_ik=i。i為梁的線剛度，i=EI/l，E為梁材料的彈性模量，I為梁截面慣性矩，l為梁長。

（2）節點轉動剛度 圖1.8-4表示節點i連接幾根桿。節點i轉動一個單位轉角時需要在節點i上加的力矩稱為節點i的轉動剛度S_i。

顯然

（3）分配系數 即

（4）傳遞系數 節點i發生單位轉角時，與i相連的某桿的遠端彎矩與近端彎矩的比值稱為該桿的傳遞系數C_ik，應用桿端彎矩公式推得：遠端固定桿，C_ik=1/2；遠端鉸支桿，C_ik=0；遠端滑動支座，C_ik=-1。

2.力矩分配法概念

圖1.8-5為只有一個節點且無線位移的結構。在節點A上受有一力偶荷載。這樣的狀態稱為一個力矩分配單元。只有在分配單元上才能施行力矩分配和傳遞。

圖1.8-4 節點i連接幾根桿

圖1.8-5 只有一個節點且無線位移的結構

力矩分配法運算步驟：

（1）節點轉動剛度 因為 ， ， ，所以

（2）計算分配系數 ， ，

（3）傳遞系數 C_AC=0，C_AD=-1，

（4）計算分配彎矩

（5）計算傳遞彎矩

這樣，就把力矩M分配和傳遞給每根桿的兩端。

【例1.8-1】 用力矩分配法計算圖1.8-6所示結構。

解答：1.桿端轉動剛度S_BA=3i，S_BC=4i

2.節點轉動剛度S_B=7i

3.計算分配系數

4.查固端彎矩

5.進行分配和傳遞

6.繪M圖

圖1.8-6 【例1.8-1】圖

【例1.8-2】 有一根三跨的鋼筋混凝土等截面連續梁，q=p+g=25kN/m（設計值），如圖1.8-7所示。混凝土強度等級為C30，梁縱向受力鋼筋采用HRB335，縱向受力鋼筋合力點至截面近邊的距離a_s=35mm，梁截面b×h=200mm×500mm。

圖1.8-7 【例1.8-2】圖

1.假定當L₁=6m，L₂=8m，L₃=5m，該梁彎矩分配系數μ_BA及B支座的不平衡彎矩ΔM應與下列（ ）組數據相近。

（A）0.50；20.8kN·m （B）0.45；93.75kN·m

（C）0.385；112.5kN·m （D）0.625；133.3kN·m

答案：（A）

解答：AB梁線剛度：

BC梁線剛度：

梁彎矩分配系數：

查固端彎矩：

不平衡彎矩： ΔM=（133.3-112.5）kN·m=20.8kN·m

2.假定調整L₁、L₂、L₃跨度后B支座左右兩端的分配系數分別為0.45，0.55；支座固端彎矩分別為100kN·m、-150kN·m。C支座左右兩端分配系數為0.4，0.6；固端彎矩為150kN·m、-120kN·m，試問該梁進行二次彎矩重分配，B、C支座的彎矩接近（ ）組數據。

（A）M_B=113.2kN·m，M_C=129kN·m （B）M_B=153.12kN·m，M_C=151kN·m

（C）M_B=126.44kN·m，M_C=146.25kN·m （D）M_B=153.12kN·m，M_C=129kN·m

答案：（C）

解答：彎矩分配過程如下

M_B=126.44kN·m M_C=146.25kN·m

【例1.8-3】 有一工業廠房為高低跨排架，低跨跨度為15m，高跨跨度為24m，柱間距為6m，該廠房采用預應力混凝土屋架，屋面采用預應力大型屋面板。車間的縱向全長度為120m，在車間中部60m處設有雙柱溫度伸縮縫，車間四周的圍護墻為240mm磚墻。建筑平面及剖面如圖1.8-8所示。

1.廠房各列柱靜荷載（標準值）作用如圖1.8-9所示。圖中t為舊規范的荷載單位，計算時應換成新規范的kN。試確定作用于中柱Ⅰ—Ⅰ截面處的N和M值（標準值）與下列（ ）項數值最為接近。

提示：（1）產生順時針彎矩為正值，反之為負值。

（2）B列柱豎向荷載11.11t和7.56t作用于同一垂直線上（1t=10kN）。

（A）N=410.80kN，M=-16.88kN·m （B）N=410.80kN，M=16.88kN·m

（C）N=317.50kN，M=-21.47kN·m （D）N=410.80kN，M=-30.75kN·m

圖1.8-8 【例1.8-3】圖

圖1.8-9 廠房各列柱靜荷載示意圖

答案：（D）

解答：軸力：N=（111.1+75.6+18.5+74.8+130.8）kN=410.8kN

彎矩：M=（74.8×0.55-75.6×0.35-111.1×0.35-130.8×0.05）kN·m

=-30.75kN·m

2.在如圖1.8-9所示的柱?的靜荷載（標準值）作用下，用力法求解出排架橫梁內力為：低跨x₁=0.34kN，高跨x₂=1.40kN。靜荷載（標準值）作用下排架計算簡圖如圖1.8-10所示。試確定作用于?軸外柱G和柱根N處的M值（標準值）與下列（ ）項數值最為接近。彎矩方向同1.的規定。

圖1.8-10 計算簡圖

（A）M_G上=0.66kN·m，M_G下=4.34kN·m，M_N=-8.82kN·m

（B）M_G上=0.66kN·m，M_G下=-10.62kN·m，M_N=-8.82kN·m

（C）M_G上=-5.88kN·m，M_G下=2.18kN·m，M_N=-15.34kN·m

（D）M_G上=-5.88kN·m，M_G下=-5.88kN·m，M_N=-19.04kN·m

答案：（A）

解答：M_G上=（-1.4×4.2+130.8×0.05）kN·m=0.66kN·m

M_G下=（-1.4×4.2+130.8×0.25+18.5×0.2-74.8×0.35）kN·m

=4.34kN·m

M_N=（-1.4×13.6+130.8×0.25+18.5×0.2-74.8×0.35）kN·m

=-8.82kN·m

3.在廠房高跨內A₅級工作制雙鉤吊車的大車輪距為4.4m（每側兩輪），兩臺吊車間的最小輪距為1.1m。設定最大輪壓P_max=152kN（標準值），輪壓的分項系數為1.4。結構的設計使用年限為50年。簡支吊車梁的跨度為6m。兩臺吊車傳給柱子牛腿的最大壓力（設計值）與下列（ ）項數值最為接近。

（A）585.20kN （B）415.60kN （C）769.10kN （D）549.36kN

答案：（B）

解答：吊車荷載下柱影響線如圖1.8-11所示。

圖1.8-11 柱影響線

A₅級工作制雙鉤吊車荷載折減系數ψ_c=0.9

D_max=r_qψ_cP_maxΣy_i=1.4×0.9×152×2.17kN=415.6kN

1.8.3 靜定桁架的計算方法

靜定桁架一般采用節點法和截面法進行內力計算。

【例1.8-4】 有一鋼筋混凝土非預應力屋架，如圖1.8-12所示。結構設計使用年限為50年。已知：屋架混凝土強度等級為C30。節點集中荷載P=P₁+P₂，恒荷載P₁=12kN（標準值且包括構件自重），活荷載P₂=6kN（標準值且活荷載大于4kN/m²）。

提示：（1）計算屋架桿件內力時不考慮節點次應力的影響。

（2）上弦桿的計算長度可取節間長度的兩倍。

（3）基本組合為由可變荷載效應控制的組合。

1.在活荷載作用下的支座反力為R_Av（設計值，kN）應該和下列（ ）項數值相接近。

（A）R_Av=23.4 （B）R_Av=25.2 （C）R_Av=21 （D）R_Av=19.5

答案：（B）

解答：荷載設計值：1.4×P₂=8.4kN

圖1.8-12 【例1.8-4】圖

2.在恒荷載和活荷載的作用下，上弦桿件S₁的內力設計值（kN）與下列（ ）項數值相接近。

（A）153.02 （B）124.16 （C）148.99 （D）127.51

答案：（D）

解答：采用節點法：P=（1.2×12+1.4×6）kN=22.8kN

由節點靜力平衡：

（與假設的方向相反）（受壓）