2.3　有趣的對稱素數(shù)

對稱素數(shù)是素數(shù)集中的一個構(gòu)形優(yōu)美的子集，展現(xiàn)出素數(shù)對稱美。

對稱素數(shù)：一個整數(shù)m的逆序數(shù)就是m本身，則稱m為對稱數(shù)。一個整數(shù)m如果是對稱數(shù)又是素數(shù)，則稱m為對稱素數(shù)。

例如，101，131，929等都是3位對稱素數(shù)，9 989 899是7位對稱素數(shù)。這些左右對稱素數(shù)順讀與逆讀是相同的，因此有些資料稱為回文素數(shù)。

1. 偶數(shù)位對稱素數(shù)探討

是否存在偶數(shù)位對稱整數(shù)？回答不能一概而論，須區(qū)分其具體位數(shù)來回答。

【命題】　不存在位數(shù)為偶數(shù)且大于2位的對稱素數(shù)。

【證明】　不妨設(shè)位數(shù)大于2的偶數(shù)位對稱整數(shù)m＝ab…cddc…ba，數(shù)中兩個數(shù)字a所在的位置序數(shù)為一奇一偶，兩個數(shù)字b的位置序數(shù)也是一奇一偶……直到緊鄰中心的兩個數(shù)字d的位置序數(shù)還是一奇一偶。

顯然m奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和相等，都等于a＋b＋…＋c＋d。

注意到1除以11余1，10除以11余10，100除以11余1，1000除以11余10……即整數(shù)10n除以11，當(dāng)n為奇數(shù)時，余數(shù)為1；當(dāng)n為偶數(shù)時，余數(shù)為10。因此可得

（偶數(shù)位對稱數(shù)m除以11的余數(shù)）＝（各奇數(shù)位數(shù)字和）＋（各偶數(shù)位數(shù)字和）×10＝（各偶數(shù)位數(shù)字和）×11＋（各奇數(shù)位數(shù)字和－各偶數(shù)位數(shù)字和）＝（各偶數(shù)位數(shù)字和）×11

可見位數(shù)大于2的偶數(shù)位對稱整數(shù)m為11的倍數(shù)，不可能為素數(shù)。

之所以加“位數(shù)大于2”的約束，因為位數(shù)等于2的對稱整數(shù)11為素數(shù)。也就是說，除了11這個唯一偶數(shù)位對稱素數(shù)之外，不存在其他偶數(shù)位對稱素數(shù)。

順便指出，以上證明了一個更廣泛的命題：任何一個整數(shù)能被11整除，當(dāng)且僅當(dāng)其奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之差能被11整除。

根據(jù)這一命題，若某一大于2位的整數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之差能被11整除，則該數(shù)不是素數(shù)。

2. 編程拓展

試統(tǒng)計指定奇數(shù)n（3≤n≤9）位對稱素數(shù)的個數(shù)，并輸出其中最大的對稱素數(shù)。

（1）設(shè)計要點。

對于每一個n位奇數(shù)m通過以下兩道檢測。

應(yīng)用試商判別法檢測整數(shù)m是否為素數(shù)，如果不是素數(shù)，則返回；

如果m是素數(shù)，則分離整數(shù)m的n個數(shù)字存儲于數(shù)組h[j]（j＝1~n），若j＝1~n/2區(qū)間中的某一個j出現(xiàn)h[j]！＝h[n-j＋1]，整數(shù)m的數(shù)字非對稱，則返回。

凡通過以上兩道檢測的則為n位對稱素數(shù)，應(yīng)用s統(tǒng)計個數(shù)，并記錄其中的最大數(shù)。

（2）程序設(shè)計。

（3）程序運行示例與變通。

     請輸入位數(shù)n(3≤n≤9):7
     7位對稱素數(shù)共有668個。
     其中最大的對稱素數(shù)為:9989899

變通：如果要顯示其中所有對稱素數(shù)，程序如何修改？

如果要輸出n位對稱素數(shù)中最大的3個素數(shù)，程序如何修改？