§5.4 分部積分法與不定積分的簡單實際應用

一、分部積分法

前面§5.3介紹的換元積分法是在復合函數求導公式的基礎上得到的，它雖然是一種應用較廣泛的積分方法，但對形如∫lnxdx，∫xsinxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等等，用換元積分法就不一定有效.這些不定積分的特點是，被積函數是兩個不同類型函數的乘積.本節，我們將利用兩個函數乘積的微分（導數）公式，推導計算這種類型不定積分的另一有效的方法——分部積分法.

定理5.3 設u=u（x），v=v（x）具有連續導數，則

∫u(x)d［v(x)］=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)

證：由兩個函數乘積的微分法公式

d(uv)=vdu+udv

移項，udv=d（uv）-vdu或uv′dx=d（uv）-u′vdx.

對上式兩邊積分，可得

∫udv=∫［d(uv)-vdu］=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu

即

（5.4.1）式或（5.4.1）′式稱為分部積分公式.這一公式說明，如果等式左端不定積分∫udv（或∫uv′dx）不容易求積分，而等式右端的積分∫vdu（或∫u′vdx）容易求出時，則可將左端的積分轉化為右端的積分，從而求出不定積分.按照此定理，右端分拆成兩部分，其中一部分已不需要積分，只要對另一部分積分即可，這也是分部積分法“分部”的含義.

即

我們要強調的是，利用分部積分法求不定積分時，關鍵問題在于對被積函數表達式f（x）dx中，如何正確選擇哪部分為u（x），哪部分為v′dx（或dv）是很重要的，如果選擇不恰當，就有可能使得變換后的積分比原積分更不容易求得結果，下面舉例說明.

例1 求∫xexdx.

解題分析：這是把被積函數看成是冪函數x和指數函數ex兩種不同類型函數的乘積，選冪函數x為u，剩下指數函數ex與dx的組合exdx的微分式選成dv，這樣通過求導，就可以使冪函數的冪次減低一次，而且v也容易求得.

解：令u=x，dv=exdx（或v′=ex），

由u=x兩端微分得du=dx（或u′=1）；由dv=exdx，兩端積分得∫dv=∫exdx，得v=ex，則dv=dex，將以上結果代入公式

于是

注：在求v時，是通過把表達式dv=exdx兩端求積分得到，按求不定積分的定義，v=ex 應加上任意常數C，由于這里只需要找出某個原函數v，最終積分結果的任意常數可合并為一個，因此，這里沒有必要先加.

如果上例中我們另外設u=ex，dv=xdx，會出現什么情形呢？事實上，對u=ex兩端微分，得du=exdx；由dv=xdx，兩端積分∫dv=∫xdx，即，得，于是代入公式（5.4.1）∫udv=uv-∫vdu，得原積分為

顯然積分中的x的次數比原積分∫xexdx中的x次數更高了，更不容易求得結果，所以這種選擇是不恰當的.

此例告訴我們被積函數為冪函數xα與指數函數ex相乘時，選擇冪函數為u，選擇指數函數ex與dx的組合exdx為dv.

一般說來，使用分部積分公式時，在被積函數結構中，如何適當選擇u的常用優先選擇順序，以下可供參考.

①對數函數→②反三角函數→③冪函數→④三角函數→⑤指數函數

例如，∫lnxsinxdx中被積函數含有對數函數lnx與三角函數sinx相乘時，選擇對數函數為u，即令u=lnx，則剩下部分sinxdx作為dv；又如，∫3xarctanxdx，被積函數含有指數函數與反三角函數相乘時，選擇反三角函數為u，即令u=arctanx，剩下部分3xdx作為dv等等.

由上例啟發可得出，如果所給積分∫f（x）dx中f（x）由兩個不同類型的函數φ（x），ψ（x）組成，則用分部積分法求不定積分的參考步驟是：

第一步，在所給積分∫f（x）dx中按優先選擇順序恰當選擇f（x）中的某部分函數作為u，如恰當令u=φ（x），剩下的函數與dx組合的微分式作為dv，即令dv=ψ（x）dx，然后由u=φ（x）兩端微分求得du，由dv=ψ（x）dx兩端積分求得v；

第二步，將第一步相應部分代入分部積分公式：∫udv=uv-∫vdu求出結果.

例2 求∫xcos2xdx.

解題分析：被積函數是xcos2x，按優先原則，當被積函數是冪函數和三角函數的乘積時，在公式中冪函數選成u，三角函數與dx組合的微分式選成dv.

解：第一步，設u=x，dv=cos2xdx（或v′=cos2x）.

由u=x兩端微分得du=dx；由dv=cos2xdx，兩端積分得∫dv=∫cos2xdx，即v=，則.

第二步，代入分部積分公式（5.4.1）∫udv=uv-∫vdu（或∫uv′dx=uv-∫u′vdx）得

如果上例中設u=cos2x，dv=xdx，會出現什么情形呢？這樣選擇是否適合？自行試做看看.

例3 求∫x2lnxdx.

解題分析：按優先原則，當被積函數是冪函數和對數函數的乘積時，選擇對數函數lnx為u（因為lnx不容易積分），選冪函數x2與dx組合的微分式為dv即用冪函數湊微分.

解：取u=lnx，dv=x2dx，

由u=lnx兩端微分得；由dv=x2dx兩端積分得，則.于是，由公式（5.4.1）∫udv=uv-∫vdu得

如果上例中設u=x2，dv=lnxdx，試做看看是否適合.

由例2歸納得到，被積函數為冪函數xn與對數函數lnx相乘的積分時，使用分部積分公式時的一般規律如下：

例4 求∫（x2+1）lnxdx.

解題分析：按優先原則，當被積函數是冪函數和對數函數的乘積時，選擇對數函數為u，選冪函數與dx組合的微分式為dv，即用冪函數湊微分.

解：設u=lnx，dv=（x2+1）dx，由u=lnx兩端微分得；由dv=（x2+1）dx兩端積分得.

于是根據公式（5.4.1）得

例5 求∫lnxdx.

解題分析：按優先原則，被積函數單獨是一個對數時用分部積分法，對數函數選成u，選冪函數1（←∵1=x0）與dx組合的微分式選成dv.

解：設u=lnx，dv=1·dx（或v＇=1），由u=lnx兩端微分得（或）；由dv=1·dx兩端積分∫dv=∫dx得v=x，則dv=dx.

于是

從此例可以看出，利用分部積分法可求出基本積分表中沒得到的基本初等函數，如對數函數、反三角函數的積分（見例7）的不定積分。

例6 ∫xarctanxdx.

解：設u=arctanx，dv=xdx（或v′=x），

由u=arctanx兩端微分得；由dv=xdx兩端積分∫dv=∫xdx得，則dv=.

于是

如果上例中設u=x，dv=arctanxdx，能做出來嗎？

例7 求∫arcsinxdx.

解題分析：本題和例4類似，也可看作是被積函數為冪函數x0與反三角函數arcsinx相乘，積分的方法是使用分部積分公式.

解：按優先原則設u=arcsinx，dv=dx（或v′=x），

由u=arcsinx兩端微分得；由dv=dx兩端積分∫dv=∫dx得v=x，則dv=dx

于是

由例6和例7歸納得到被積函數為冪函數xn與反三角函數相乘的積分，使用分部積分公式時的一般規律如下：

在熟練掌握分部積分法后，可不必明確地設出u和dv，以及如何求出du和v的過程，而只要在心里將被積表達式分解成φ（x）·dψ（x）的形式，直接應用分部積分公式即可.當然從上例能再次體會到熟悉常用微分的變化形式（例如§5.3表5-3-1），是很重要的.

例8 求∫x2exdx.

對∫xexdx還不能直接積分，還須再做一次分部積分，所選u的函數類型還是冪函數u=x.

代入上式得 ∫x2exdx=x2ex-2（xex-ex）+C=（x2-2x+2）ex+C

此例告訴我們，在有些積分中，可能需要多次應用分部積分法，最后才能得出結果.如上例中就運用了兩次分部積分法.若需要用兩次以上分部積分法，則每次所選u的函數類型不變（這里兩次選u都為冪函數，分別為x2和x）.

例9 求∫exsinxdx.

即

∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx

上式等式右端第三項積分∫exsinxdx恰是所求的不定積分，把該項移到等式左端合并后，再兩端除以2，解出∫exsinxdx得

上例還告訴我們，有的不定積分在重復進行分部積分后，未能求出該積分，但在求的過程中又重新出現了與所求積分相同的形式，此時可將等式中所求積分看成變量，像解代數方程那樣解出積分來，從而得到結果.

一般地，形如∫eaxsinbxdx和∫eaxcosbxdx的不定積分，任意選擇u和dv都可計算出結果.但應注意，要使用兩次分部積分公式才能求出結果.

*二、綜合雜例

到本節為止，我們已經學習了求不定積分的三種最基本的方法.記住方法本身固然重要，但更重要的是能夠靈活地運用它們來求解不同類型的題目，同時，還應注意到某些不定積分的求解，往往需要換元法與分部積分法兼用才能求得最終結果，如下例：

例10 求.

解：先用換元法，設，則x=t2，dx=2tdt.所以

例11 求.

解：先用換元法，設，則ex=1+t2，x=ln（1+t2），.

于是有些函數的積分，當被積函數中含有某個簡單函數的n（自然數）次方冪時，可通過分部積分法將該函數的n次方冪降為低次方冪，從而得到該積分計算的遞推公式.如下例：

例12 求In=∫（cosx）ndx的遞推公式，其中n為正整數，且n≥3.

即In=（cosx）n-1·sinx+（n-1）In-2-（n-1）In

將上式中含有In的項移到等號左邊合并，得

nIn=(cosx)n-1·sinx+(n-1)In-2

所以得到遞推公式（n≥3）

例如，當n=1，2時，已知

當n≥3時，反復運用上述遞推公式，可將被積函數的方次降低，最后歸結到I1或I2的函數關系式，從而得到積分結果.

利用上述遞推公式，可推得

*例13 求不定積分∫f（x）dx，其中

解：分別求在（-∞，0），（0，+∞）內的原函數.

當x≤0時，

當x＞0時，

由于f（x）在x=0處連續，因此∫f（x）dx在x=0處也連續，故有

而

即

設C1=C，則C2=C-1

綜上，得

上例告訴我們，被積函數為連續的分段函數求不定積分時，首先，分別求出分段區間上的不定積分；其次，根據連續函數的原函數一定是連續函數，由函數在點連續的充要條件，將各個區間上的積分常數統一為一個.

三、不定積分的簡單應用

不定積分的應用是由一個函數的導數還原出這個函數（原函數）.在§5.1里我們由不定積分的幾何意義知道，由曲線在給定點的切線的斜率，可求出表示這條曲線的方程.下面再舉例說明，用不定積分解決幾個簡單的實際問題.

例14 已知邊際成本為C′（x）=33+38x-12x2，固定成本為C（0）=68.求：（1）總成本函數；（2）平均成本函數.

解：（1）設總成本函數為C=C（x），由題意C′（x）=33+38x-12x2，兩端積分得

又由C（0）=68，代入上式，解得C=68，

所以，總成本函數為C（x）=33x+19x2-4x3+68

（2）平均成本函數為

例15 已知某工廠生產某種產品，生產x個產品的邊際成本為MC=C′（x）=100+2x，其固定成本為C（0）=1000元，產品單價規定為500元.假設生產出的產品能完全銷售，問生產量為多少時利潤最大？并求出最大利潤.

解：設總成本函數為C=C（x），由題意C′（x）=100+2x，兩端積分得總成本函數為

C(x)=∫(100+2x)dx=100x+x2+C1

由C（0）=0+0+C1=1000，得C1=1000

從而得總成本函數為

C(x)=x2+100x+1000

又總收益函數為

R(x)=500x

于是總利潤函數為L（x）=R（x）-C（x）=500x-x2-100x-1000=-x2+400x-1000由L′（x）=-2x+400，令L′（x）=-2x+400=0，得x=200，且L″（200）=-2<0，所以，生產量為200單位時，利潤最大，最大利潤為

L（200）=-2002+400×200-1000=39000（元）

例16 設做直線運動的某一物體的速度為.試求該物體的位移s與時間t的函數關系式.

解：設函數關系式為s=s（t），

由題意

則

又由實際意義，當時間t=0時s=0，代入上式得C=0.

于是s與時間t的函數關系式為+2t.

5.4 練習題

1.用分部積分法求下列不定積分

(1)∫xe-xdx

(2)∫xsin2xdx

(3)∫(2x-1)exdx

(4)

(5)∫xe2xdx

*(6)

(7)∫θcosθdθ

(8)∫xarcsinxdx

(9)∫x2lnxdx

(10)∫x2e-2xdx

(11)

(12)∫cosxln(sinx)dx

(13)∫(2u2-u)e-udu

(14)∫ln(5x-1)dx

(15)

(16)

(17)∫(lnx)2dx

(18)∫esinxsin2xdx

2.選用適當的方法求下列不定積分：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)∫sin2xcos4xdx

3.求不定積分∫f（x）dx，其中

4.已知函數是f（x）的一個原函數，證明：

（提示：用分部積分）.

5.已知函數f（x）=xx，證明：

∫xf″（x）dx=xx［xln（x+1）-1］+C（提示：用分部積分）.

6.求In=∫（lnx）ndx的遞推公式，其中n為正整數，且n≥2（提示：用分部積分）.

7.求In=∫xnexdx的遞推公式，其中n為正整數，且n≥1（提示：用分部積分）.

8.某工廠生產某種洗滌產品，每天生產的產品的總成本C（x）的變化率（即邊際成本）是日產量x的函數C′（x）=3+4x，已知固定成本為1000元，求總成本C（x）與日產量x的函數關系.

9.設某產品每天生產x單位時邊際成本函數為C′（x）=0.4x+2，固定成本為20元，求總成本函數；如果這種產品的銷售單價為18元，且產品可以全部售出，求總利潤函數L（x）；每天生產多少單位時才能獲得最大利潤，最大利潤值是多少？

10.已知某產品的邊際成本C′（Q）=4Q-3（萬元/百臺），Q為產量（百臺），固定成本為11（萬元），求：（1）該產品的平均成本函數；（2）最低平均成本.

11.已知某曲線上的任意一點（x，y）處的切線斜率為y′=3x（x-2），且它與x軸相交于（2，0）.求：（1）該曲線的方程；（2）該曲線與y軸的交點處的切線方程.

12.求過點（0，2）的曲線方程y=f（x），使它在點x處的切線斜率為ex.

參考答案

1.(1)-xe-x-e-x+C

(2)

(3)(2x-3)ex+C

(4)

(5)

(6)

(7)θsinθ+cosθ+C

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)[ln(sinx)-1]sinx+C

(13)-(2u2+3u+3)e-1+C

(14)

(15)

(16)

(17)x(lnx)2-2xlnx+2x+C

(18)2(sinx-1)esinx+C2.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

3.

4.略

5.略

6.In=x(lnx)n-nIn-1

7.In=xnex-nIn-1

8.C(x)=2x2+3x+1000

9.C（x）=0.2x2+2x+20；L（x）=-0.2x2+16x-20；40；300（元）

10.（1）-3；（2）6.598（萬元）

11.(1)y=x3-3x2+4;(2)y=4

12.y=ex+1