2.2 二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目反應(yīng)理論模型

二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目反應(yīng)理論模型是一組用于闡述考生在二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目中的答題行為與潛在能力之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目中，考生在題目上的得分只有0分、1分兩種可能性，如選擇題。二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目反應(yīng)理論模型包括單參數(shù)模型（Rasch, 1960）、雙參數(shù)模型（Birnbaum, 1968）、三參數(shù)模型（Birnbaum, 1968）。這三種模型最重要的區(qū)別是用于描述項(xiàng)目特征的參數(shù)量不同。

2.2.1 單參數(shù)模型

單參數(shù)模型，又稱(chēng)Rasch模型（Rasch, 1960），是二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目反應(yīng)理論模型中最簡(jiǎn)約的模型。該模型僅采用難度參數(shù)b描述項(xiàng)目特征。能力為θj的考生答對(duì)項(xiàng)目i的概率，用單參數(shù)模型可表示如下：

其中，bi為項(xiàng)目i 的難度參數(shù)，是項(xiàng)目特征曲線上答對(duì)概率為50%的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的位置越靠右邊，說(shuō)明項(xiàng)目的bi值越大，即項(xiàng)目難度越大，需要考生具有更高的能力值才能答對(duì)該題。從理論上說(shuō)，難度值的范圍從負(fù)無(wú)限大到正無(wú)限大，但實(shí)際上難度值通常在（-2,2）的范圍內(nèi)（Baker, 1985; Hambleton& Swaminathan, 1985; Hambleton et al., 1991; Embretson & Reise, 2000）.

2.2.2 雙參數(shù)模型

在雙參數(shù)模型中，除了難度參數(shù)b以外，還增加了區(qū)分度參數(shù)a（Birnbaum, 1968）。能力為θj的考生答對(duì)項(xiàng)目i的概率，用雙參數(shù)模型可表示如下：

其中，ai為項(xiàng)目i 的區(qū)分度參數(shù)，bi為項(xiàng)目i 的難度參數(shù)。ai就是項(xiàng)目特征曲線上拐點(diǎn)難度參數(shù)bi值上的斜率。區(qū)分度值越大，說(shuō)明該項(xiàng)目越能更好地區(qū)分考生的能力水平。從理論上說(shuō)，區(qū)分度值的范圍從負(fù)無(wú)限大到正無(wú)限大，但實(shí)際上區(qū)分度值通常在（0,2）范圍內(nèi)（Hambleton et al., 1991）。

比較公式（1）和公式（2）我們可以看出，雙參數(shù)模型比單參數(shù)模型僅多了區(qū)分度參數(shù) ai，即雙參數(shù)模型允許不同項(xiàng)目具有不同的區(qū)分度，單參數(shù)模型則認(rèn)為所有項(xiàng)目的區(qū)分度相同。換言之，雙參數(shù)模型是單參數(shù)模型的拓展，如果限定雙參數(shù)模型中的區(qū)分度參數(shù)值為1，則雙參數(shù)模型就會(huì)變成單參數(shù)模型。

2.2.3 三參數(shù)模型

在三參數(shù)模型中，除了難度參數(shù)b與區(qū)分度參數(shù)a 以外，還增加了猜測(cè)度參數(shù) c（Birnbaum, 1968）。能力為θj的考生答對(duì)項(xiàng)目i的概率用三參數(shù)模型可表示如下：

其中，ci為項(xiàng)目i的猜測(cè)度參數(shù)。ci為項(xiàng)目特征曲線的下端漸近線，指考生單靠猜測(cè)答對(duì)該項(xiàng)目的概率。下端漸近線的位置越高，即ci值越大，說(shuō)明能力值低的考生猜對(duì)該項(xiàng)目的概率越大。從理論上說(shuō)，猜測(cè)度值的范圍介于0到1之間，但實(shí)際上猜測(cè)度值通常小于0.3（Harris, 1989）。由于三參數(shù)模型包含猜測(cè)因素，因此三參數(shù)模型中的難度參數(shù)bi為項(xiàng)目特征曲線上答對(duì)概率為（1+c）/2的拐點(diǎn)。

同樣，比較公式（2）和公式（3）可以看出，三參數(shù)模型與雙參數(shù)模型非常相似，只是在三參數(shù)模型中加入了猜測(cè)度參數(shù) ci。如果該項(xiàng)目不存在猜測(cè)答題的可能性，如二級(jí)計(jì)分簡(jiǎn)答題項(xiàng)目，猜測(cè)度參數(shù) ci就等于0，因此，三參數(shù)模型便簡(jiǎn)化為雙參數(shù)模型。簡(jiǎn)而言之，三參數(shù)模型是雙參數(shù)模型的拓展，雙參數(shù)模型是單參數(shù)模型的拓展。

2.2.4 二級(jí)計(jì)分模型的項(xiàng)目信息量與測(cè)試信息量

在經(jīng)典測(cè)量理論中，測(cè)量精確度以信度來(lái)表示，信度越高，表示測(cè)量精確度越高。參加同一考試的所有考生的測(cè)量精確度被假定為相同，所以只有一個(gè)信度值。在項(xiàng)目反應(yīng)理論中，測(cè)量精確度用信息量來(lái)表示，不論是單一項(xiàng)目還是整個(gè)測(cè)試，對(duì)不同能力的考生會(huì)提供不同的信息量。

項(xiàng)目信息量指該項(xiàng)目在整個(gè)能力區(qū)間的每個(gè)點(diǎn)上所能提供的測(cè)量精確度（Hambleton et al., 1991）。對(duì)于二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目反應(yīng)理論模型，項(xiàng)目信息函數(shù)Ii（θ）可表示為：

其中，Pi（θ）是能力為θ的考生答對(duì)項(xiàng)目i的概率，是 Pi（θ）的一階導(dǎo)數(shù)。項(xiàng)目信息量越大，測(cè)量就越精確。對(duì)于二級(jí)計(jì)分項(xiàng)目而言，當(dāng)考生能力值等于項(xiàng)目難度值時(shí)，其項(xiàng)目函數(shù)曲線達(dá)到最高點(diǎn)。并且，區(qū)分度參數(shù)值越大，項(xiàng)目信息量函數(shù)曲線越凸起；區(qū)分度參數(shù)值越小，項(xiàng)目信息量函數(shù)曲線越平坦（DeMars, 2010）。

測(cè)試信息量指一項(xiàng)測(cè)試在整個(gè)能力區(qū)間的測(cè)量精確度。測(cè)試信息量TI（θ）等于測(cè)試中所有項(xiàng)目的信息量的總和：

在最大似然估計(jì)法中，測(cè)試信息量I（θ）與能力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差SE（θ）存在反向關(guān)系，其關(guān)系可以用以下公式表示：