3.5 平面四桿機(jī)構(gòu)的解析法設(shè)計(jì)

連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法有圖解法、解析法和試驗(yàn)法。解析法是按照給定的參數(shù)和機(jī)構(gòu)類型，建立參數(shù)方程，并根據(jù)已知參數(shù)對(duì)方程式求解，從而確定機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)的方法。本節(jié)主要介紹解析法的設(shè)計(jì)方法。

3.5.1 按給定連桿位置設(shè)計(jì)四桿機(jī)構(gòu)

圖3.53所示鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，在機(jī)架上建立固定坐標(biāo)系xOy。已知連桿平面上任意兩點(diǎn)M、N，分別在該坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為Mi（xMi，yMi）、Ni（xNi，yNi）（i=1，2，…，n）。又以M為原點(diǎn)在連桿上建立動(dòng)坐標(biāo)系x′My′。

設(shè)B、C兩點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)分別為B（x′B，y′B）、C（x′C，y′C），在固定坐標(biāo)系中與Mi、Ni相對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)分別為Bi（xBi，yBi）、Ci（xCi，yCi），則B、C兩點(diǎn)分別在動(dòng)坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系的變換關(guān)系為

式（3-45）和式（3-46）中φi為x軸正向至x′軸正向沿逆時(shí)針?lè)较虻膴A角，且φi的表達(dá)式為

若固定鉸鏈中心A、D在固定坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為A（xA，yA）、D（xD，yD），在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩連架桿長(zhǎng)度保持不變，可得

將式（3-45）代入式（3-48）并整理，得

式中

當(dāng)A、D位置沒(méi)有給定時(shí)，式（3-50）含有4個(gè)未知量x′B和y′B、xA和yA，共有n—1個(gè)方程，其有解的條件為n≤5，即四桿機(jī)構(gòu)最多能精確實(shí)現(xiàn)連桿的5個(gè)給定位置。當(dāng)n＜5時(shí)，可預(yù)先選定機(jī)構(gòu)參數(shù)以獲得唯一解。求出x′B、y′B，xA、yA，x′C、y′C，xD、yD未知量后，利用上述關(guān)系即可求得連桿、機(jī)架及兩連架桿的長(zhǎng)度。

當(dāng)A、D位置預(yù)先給定，則四桿機(jī)構(gòu)最多可精確實(shí)現(xiàn)連桿的三個(gè)預(yù)期位置。

3.5.2 按給定行程速比系數(shù)K設(shè)計(jì)四桿機(jī)構(gòu)

若給定曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中搖桿CD的長(zhǎng)度c、擺角ψ以及行程速比系數(shù)K，試設(shè)計(jì)此機(jī)構(gòu)。

由行程速比系數(shù)K算出極位夾角θ并作外接圓η，如圖3.54所示。圓η的半徑為

固定鉸鏈中心A在圓η的兩段圓弧上有無(wú)窮多個(gè)解，但不能選在劣弧段上，否則機(jī)構(gòu)將不滿足運(yùn)動(dòng)連續(xù)性要求。若再給定某些附加條件，則A點(diǎn)的位置就受到限制。不同的附加條件對(duì)應(yīng)的各構(gòu)件長(zhǎng)度的求解方法也不相同。

如圖3.54所示，若以β=∠AC1C2表示A點(diǎn)在圓η上的位置，并引入符號(hào)系數(shù)δ，即

（1）當(dāng)時(shí)，δ=+1；

（2）當(dāng)時(shí)，δ=—1。

對(duì)于θ＜90°，設(shè)曲柄AB的長(zhǎng)度為a、連桿BC的長(zhǎng)度為b，AD的長(zhǎng)度為d，OD的長(zhǎng)度為g，則有

由圖可知，曲柄與連桿拉直共線和重疊共線的兩個(gè)位置為和，則

若附加條件為給定機(jī)架AD的長(zhǎng)度d，則由式（3-60）可求得角β，將其代入式（3-58）和式（3-59）可求得曲柄AB和連桿BC的長(zhǎng)度a和b。又若附加條件為給定最小傳動(dòng)角γmin，則有

將式（3-58）～式（3-60）代入式（3-61），得未知量?jī)H為β的方程：

采用數(shù)值方法求解式（3-62），便可確定最小傳動(dòng)角為給定值時(shí)的β及A點(diǎn)的位置。將β值代入式（3-58）～式（3-60），即可求得a、b、d。

3.5.3 給定兩連架桿的對(duì)應(yīng)位置設(shè)計(jì)四桿機(jī)構(gòu)

1．鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)

如圖3.55所示的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中，已知兩連架桿AB和DC沿逆時(shí)針?lè)较虻膶?duì)應(yīng)角為φ1i和ψ1i（i=1，2，…，n），要求確定各構(gòu)件的長(zhǎng)度a、b、c、d。

以A為原點(diǎn)、機(jī)架AD為x軸建立直角坐標(biāo)系xAy，ABCD構(gòu)成封閉向量多邊形，封閉向量方程為

向量方程向x軸和y軸投影，則兩連架桿AB和CD相對(duì)于x軸的位置角之間有如下關(guān)系：

兩連架桿角位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系只與各構(gòu)件的相對(duì)長(zhǎng)度有關(guān)，因此以桿AB的長(zhǎng)度為基準(zhǔn)，并設(shè)

將式（3-65）代入式（3-64），得

將式（3-66）中的兩式等號(hào)兩邊平方后相加并整理得

式中：

若兩連架桿AB和DC第一位置線相對(duì)于x軸的夾角分別記為φ1和ψ1，則兩連架桿第i個(gè)位置相對(duì)于x軸的夾角分別為φ1+φ1i和ψ1+ψ1i。將式（3-67）分別用于兩連架桿的第1和第i位置，則有

式（3-69）中含有P0、P1、P2、φ1、ψ1 5個(gè)未知量，共有n個(gè)方程，其有解的條件為n＜5，即鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)最多能精確實(shí)現(xiàn)兩連架桿的4組對(duì)應(yīng)角位移，即兩連架桿5組對(duì)應(yīng)角位置。

若φ1和ψ1預(yù)先給定，則鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)最多能精確實(shí)現(xiàn)兩連架桿的兩組對(duì)應(yīng)角位移，此時(shí)式（3-67）可寫(xiě)為

由式（3-70）中的三個(gè)線性方程組可解出P0、P1和P2，并將P0、P1和P2的值代入式（3-67），即得各構(gòu)件的相對(duì)長(zhǎng)度m、n、p，再根據(jù)實(shí)際需要選定構(gòu)件AB的長(zhǎng)度a后，其他構(gòu)件的長(zhǎng)度b、c、d即可確定。

2．曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

圖3.56所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，已知曲柄與滑塊的三個(gè)對(duì)應(yīng)位置φ1、xC1，φ2、xC2，φ3、xC3，試設(shè)計(jì)此曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。

設(shè)曲柄AB、連桿BC的長(zhǎng)度分別為a、b，偏距為e。建立坐標(biāo)系xAy。各構(gòu)件長(zhǎng)度在坐標(biāo)軸x、y上投影得

化簡(jiǎn)式（3-71）得

令

則式（3-72）可寫(xiě)成

將曲柄與滑塊的三個(gè)對(duì)應(yīng)位置φ1、xC1，φ2、xC2，φ3、xC3，代入式（3-74），得

解此方程式，求解出R1、R2、R3，再由式（3-73）即可確定曲柄AB的長(zhǎng)度a、連桿BC的長(zhǎng)度b、偏距e，分別如下：