2.2 系統的分類

2.2.1 系統的初始狀態

在討論連續系統的分類之前，首先討論引起連續系統響應的初始狀態（條件），其基本概念也可用于離散系統。“初始”實際是一個相對時間，通常是指一個非零的電源接入電路系統的瞬間，或電路發生“換路”的瞬間，可記為t=t0。為討論問題方便，一般將t0=0作為“初始”時刻，并用0–表示系統“換路”前系統存儲的初始狀態，用0+表示“換路”后系統響應的初始條件。

下面以電容、電感的電壓、電流關系為例來理解系統初始狀態與初始條件。

【例2-1】如圖2-2所示簡單理想電路系統，已知激勵電流i（t），求響應vC（t）。

解：由電容的電壓、電流關系

該式是一階線性微分方程，解此方程可得響應為

該式說明電容電壓與過去所有時刻流過電容的電流有關，因此也稱電容為動態（記憶、儲能）元件。要知道全部時刻的電流iC（t）是不實際的，通常要計算的vC（t）一般需要由已知某時刻t0開始到所要計算時刻t的iC（t）以及此時刻前的電容電壓vC（t0）來確定，即

若t0=0，則上式成為

因此，只有已知t＞t0或t＞0時的iC（t）以及系統的初始條件vC（t0+）或vC（0+），才能求解t＞t0（t＞0）系統的響應vC（t）。

而vC（t0+）或vC（0+）與系統的初始狀態vC（t0–）或vC（0–）密切相關。vC（t0–）或vC（0–）是在iC（t）時刻t=t0–或t=0–以前的作用，反映了系統在該時刻的儲能。

由電容與電感的對偶關系，不難得到

以及

若t0=0，則有

與電容情況相同，該式表明電感也是動態（記憶／儲能）元件。只有已知t＞t0（或t＞0）時的vL（t）以及系統的初始條件iL（t0+）、iL（0+），才能求解t＞t0（t＞0）系統的響應iL（t）。同樣iL（t0+）、iL（0+）與系統的初始狀態iL（t0–）、iL（0–）密切相關，iL（t0–）、iL（0–）是電壓vL（t）在時刻t=t0–或t=0–以前的作用，即系統在該時刻的儲能。

2.2.2 系統的響應

根據引起響應的不同原因，系統的響應可以分為零輸入響應與零狀態響應。

系統的零輸入響應與零狀態響應分別定義如下：

當系統的激勵為零，僅由系統初始狀態（儲能）產生的響應是系統的零輸入（Zero Input）響應，記為yzi（t）或yx（t）；當系統的初始狀態（儲能）為零，僅由系統激勵產生的響應是系統的零狀態（Zero State）響應，記為yzs（t）或yf（t）。

下面通過具體例題來討論系統的響應。

【例2-2】分析如圖2-2所示電路系統，且已知vC（0–）=1/2V，C=2F，電流i（t）的波形如圖2-3所示，求t≥0的響應vC（t），并繪出波形圖。

解：由已知條件可知，該系統既有初始儲能，也有激勵，所以系統響應既有初始儲能產生的部分，也有激勵產生的部分。從電流i（t）波形可知，i（t）除了在t=0時刻加入，在t=1及t=2還有變化，都可以理解為“換路”，因此在t=0–、t=1–及t=2–分別有三個初始狀態vC（0–）、vC（1–）和vC（2–），利用電容電壓無跳變，可以解出對應的三個初始條件vC（0+）、vC（1+）和vC（2+）。由此得到響應（如圖2-4所示）為

例2-2是一階微分方程描述的簡單系統。可以看到，為了求解它的響應，除了知道系統的激勵外，還需要知道系統的初始條件。

推論，若系統是由n階微分方程描述的，則求解響應除了激勵外，還必須知道系統的n個初始條件（狀態）。

n階線性微分方程的一般形式為

若初始條件（0+）（j=0，1，…，n–1）或（0–）（j=0，1，…，n–1）已知，要根據給定的初始條件來求解系統的零輸入響應。

2.2.3 系統的分類

1．動態系統與靜態系統

含有動態元件的系統是動態系統，如RC電路、RL電路。沒有動態元件的系統是靜態系統，也稱即時系統，如純電阻電路。

動態系統在任意時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，還與該時刻以前的激勵有關；靜態系統在任意時刻的響應僅與該時刻的激勵有關。描述動態系統的數學模型為微分方程，描述靜態系統的數學模型為代數方程。

2．因果系統與非因果系統

因果系統滿足在任意時刻的響應y（t）僅與該時刻以及該時刻以前的激勵有關，而與該時刻以后的激勵無關。也可以說，因果系統的響應是由激勵引起的，激勵是響應的原因，響應是激勵的結果，響應不會發生在激勵加入之前，系統不具有預知未來響應的能力。例如系統的激勵f（t）與響應y（t）的關系為，這是一階微分方程，而響應與激勵的關系是積分關系，則該系統是因果系統。響應與激勵具有因果關系的系統也稱為物理可實現系統。

如果響應出現在激勵之前，那么系統就是非因果系統，也稱為物理不可實現系統。例如如圖2-5（a）所示系統的響應與激勵的關系為y1（t）=f1（t–1），響應出現在激勵之后，則系統是因果系統；而如圖2-5（b）所示系統的響應與激勵的關系為y2（t）=f2（t+1），響應出現在激勵之前，那么該系統就是非因果系統。

一般由模擬元器件，如電阻、電容、電感等組成的實際物理系統都是因果系統。在數字系統中對數字信號進行處理時，利用計算機的存儲功能，可以逼近非因果系統，從而實現許多模擬系統無法完成的功能，這也是數字系統優于模擬系統的一個方面。

另外，t＜0時為零的信號也稱為因果信號。對于因果系統，在因果信號激勵下其響應也是因果信號。

3．連續時間系統與離散時間系統

激勵與響應均為連續時間信號的系統是連續時間系統，也稱模擬系統；激勵與響應均為離散時間信號的系統是離散時間系統。普通的電視機是典型的連續時間系統，而計算機則是典型的離散時間系統。

隨著大規模集成電路技術的發展與普及，越來越多的系統是既有連續時間部分又有離散時間部分的混合系統。如圖2-6所示為一個混合系統。

4．線性系統與非線性系統

“線性”系統是滿足疊加性與齊次性條件的系統。考慮引起系統響應的因素，除了系統的激勵之外，還要考慮系統的儲能，因此線性系統必須滿足以下三個條件。

1）可分解性

線性系統的響應可以分解為零輸入響應與零狀態響應，即系統響應可表示為

2）零輸入線性

輸入為零時，由各初始狀態{x1（0），x2（0），…，xn（0）}引起的響應滿足疊加性與齊次性，若

xk（0–）→yzik（t）（k=1～n）t≥0

則

式（2-3）可用圖2-7的方框圖表示。

3）零狀態線性

初始狀態為零時，由各輸入激勵f1（t），f2（t），…，fm（t）引起的響應具有疊加性與齊次性，即若

fi（t）ε（t）→yzsi（t）ε（t）

則

式（2-4）可由圖2-8的方框圖表示。

不滿足上述任何一個條件的系統都是非線性系統。

如果線性系統滿足因果性，那么由t＜0，f（t）=0，可以得到y（t）=0（t＜0）。

【例2-3】已知系統輸入f（t）與輸出y（t）的關系如下，判斷下面的系統是否為線性系統。

（1）y（t）=5x（0–）f（t）ε（t）；

（2）y（t）=4x（0–）+3f2（t）ε（t）；

（3）。

解：（1）不滿足可分解性，是非線性系統。

（2）不滿足零狀態線性，是非線性系統。

（3）滿足可分解性、零輸入線性、零狀態線性，所以該系統是線性系統。

【例2-4】討論具有如下輸入和輸出關系的系統是否為線性系統。

y（t）=2+3f（t）

解：f1（t）→y1（t）=2+3f1（t）

f2（t）→y2（t）=2+3f2（t）

f1（t）+f2（t）→y（t）=2+3[f1（t）+f2（t）]≠y1（t）+y2（t）=4+3[f1（t）+f2（t）]

從上述推導，該系統應屬非線性系統。但是考慮到f（t）=0時，y（t）=2，若把它看作是初始狀態引起的零輸入響應，則滿足線性系統條件，故該系統是線性的。這個系統的輸入和輸出關系如圖2-9所示。

5．時變系統與非時變系統

從系統的參數來看，系統參數不隨時間變化的是時不變系統，也稱非時變系統、常參系統、定常系統等；系統參數隨時間變化的是時變系統，也稱變參系統。

從系統響應來看，時不變系統在初始狀態相同的情況下，系統響應與激勵加入的時刻無關。即在{x1（0），x2（0），…，xn（0）}時，f（t）→y（t），則在{x1（t0），x2（t0），…，xn（t0）}時，有

時不變系統的輸入輸出關系可由圖2-10表示。由圖可見，當激勵延遲一段時間t0加入時不變系統時，輸出響應亦延時t0才出現，并且波形變化的規律不變。

【例2-5】已知系統激勵與響應之間的關系如下，判斷該系統是否是時不變系統。

y（t）=cos3t·x（0）+2t·f（t）ε（t）

解：因為初始狀態x（0）與激勵f（t）ε（t）的系數均不是常數，所以系統是時變系統。