0.3 復數和實數

信號與系統的大多數理論是建立在復變函數的基礎之上。例如連續信號的拉普拉斯變換就是復變量s=σ+jω的函數，離散時間信號的z變換也是復變量z=rejθ的函數。

0.3.1 復數和向量

任何一個復數z=a+jb，與平面直角坐標系的點Z（a，b）是一一對應的。同時，復數z=a+jb和由原點O指向點Z的向量也一一對應，如圖0-5所示。我們常把復數z=a+jb說成點Z或向量。規定，相等的向量表示同一個復數。

復數的模|z|，也即向量的模r，表示向量的大小，有

復數的幅角θ表示向量的方向，有

因此，復數也可用極坐標表示為

復數的算術運算可借用向量運算法則，如圖0-6所示。

當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數稱為共軛復數。復平面內與一對共軛復數對應的點關于實軸對稱。共軛復數有以下性質：

（1）z+z*=2a或者；

（2）z–z*=2jb或者；

（3）zz*=|z|2或者；

（4）；

（5）。

0.3.2 復變函數

以復數作為自變量和因變量的函數就叫作復變函數。例如：指數函數y=ex，若自變量x=jθ是復數，則y=ejθ即為復指數函數。對數函數y=lnz，若自變量z是復數，y就是一個復變函數，且有

1．歐拉公式

歐拉恒等式是一個聯系復指數函數和三角函數的公式，即

證明：因為復數cosθ+jsinθ的模和幅角分別為

這和極坐標形式的復數ejθ的模和幅角相等，所以歐拉公式成立。

復指數函數與正弦函數之間的關系在信號與系統的分析中非常重要。利用歐拉恒等式，有

2．歐拉恒等式的應用

1）極坐標到直角坐標的轉換

利用歐拉公式可以方便地求出一個極坐標表示的復數的實部和虛部，從而轉換成代數形式的復數。利用公式

可快速地將第二、三象限的復數轉換到第一、四象限計算。例如：

z1=7ej250°=7ej180°ej70°=–7ej70°=–7cos（70°）–7jsin（70°）=–2.39–j6.58

z2=4e–j220°=4e–j180°e–j40°=–4e–j40°=–4cos（–40°）–4jsin（–40°）=–3.06+j2.57

2）多項式的根

利用歐拉公式可以方便地求出一些特殊多項式的根。例如已知多項式F（z）=z4+1，則該多項式的根可用下述方法求解：

z4+1=0?z4k=–1=ej（2k+1）π，k=0，1，2，3?zk=ej（2k+1）π/4，k=0，1，2，3

則多項式F（z）的根為：z1=ejπ/4，。

3）三角恒等式

利用歐拉公式可以方便地證明以下三角恒等式。

0.3.3 相量和正弦信號

正弦信號是隨時間作正弦規律變化的周期信號，表達式為

式中，A是振幅，ω0=2πf0是角頻率，θ是初相位。

由歐拉公式，有

如果角頻率ω0給定，正弦信號由其振幅和相位決定，由此，可定義一個相量

這樣，正弦信號可以看作相量V以ω0rad/s的速度逆時針旋轉時在實軸上的投影。

兩個同頻率的正弦信號相加可以依照相量的加法規則進行，例如

u（t）=Acos（ω0t+θ）+Bcos（ω0t+φ）

用相量表示，有

U=Aejθ+Bejφ=Cej?

則和信號的表達式為

u（t）=Ccos（ω0t+?）

這表明，兩個同頻率的正弦信號相加得到另一個同頻率的正弦信號。