- 不協調信息的推理機制研究
- 杜國平
- 3591字
- 2019-09-21 03:50:30
2.5 對當關系邏輯的擴充及其應用
2.5.1 一元連接詞
作為二值一元真值連接詞，共有如下九種可能：
其中“1”表示“真”,“0”表示“假”,“u”表示“無定義”。
在上述九種可能的二值一元連接詞中，f1（A）、f4（A）、f5（A）和f9（A）等四個連接詞是平凡的，因為f1（A）就是零函數Z（x）=0,f4（A）就是一元恒同函數id（x）=x,f5（A）就是常值函數const1（x）=1,f9（A）就是空函數，這四個一元連接詞在自然語言中都很少使用。其他五個一元連接詞在自然語言中使用得較多，尤其是其中的f2（A）。其中的四個在對當關系邏輯中我們分別表示為：
f2（A）=﹁A
f3（A）=▽A
f6（A）=*A
f8（A）=△A
在對當關系邏輯中，我們對這四個連接詞的邏輯性質進行了研究，但是對于f7（A）我們沒有涉及。本節擬在上述工作的基礎上，分析f7（A）的邏輯性質并對對當關系邏輯的具體應用作一些探討。
2.5.2 連接詞“○”的邏輯性質
一元連接詞f7（A）在對當關系邏輯中是可以通過其他一元連接詞被定義出來的，例如：
f7（A）=def ﹁△A 或者 f7（A）=def ﹁*﹁A
為了敘述方便，我們將f7（A）表示為：○A。
根據定義，不難證明在對當關系邏輯系統中關于一元連接詞“○”有如下定理：
定理2.5.1 ├○A→A
證明：
（其中，PTh指的是經典命題邏輯的定理）
定理2.5.2 ├﹁A→﹁○A
結合語義，可以證明A→○A、﹁○A→﹁A都不是對當關系邏輯的定理。由此可見，○A和A之間存在差等關系，或者說A和○A之間存在逆差等關系。
定理2.5.3 ├○A→﹁﹁A
定理2.5.4 ├﹁A→﹁○A
但是定理2.5.3、定理2.5.4的逆定理都不成立，即可以證明﹁﹁A→○A、﹁○A→﹁A都不是對當關系邏輯的定理。由此可見，○A和﹁A之間存在反對關系。
定理2.5.5 ├○A→﹁▽A
定理2.5.6 ├▽A→﹁○A
同樣定理2.5.5、定理2.5.6的逆定理也都不成立，即可以證明﹁▽A→○A、﹁○A→▽A也都不是對當關系邏輯的定理。由此可見，○A和▽A之間也存在反對關系。
結合對當關系邏輯中的其他一元連接詞的邏輯性質，可以將它們之間的關系圖示如下：
在經典命題邏輯中，只有和A具有矛盾關系的﹁A，而在對當關系邏輯中，不僅有和A具有矛盾關系的﹁A，而且有和A具有反對關系的▽A、有和A具有下反對關系的△A、有和A具有差等關系的*A、有和A具有逆差等關系的○A，這大大增強了命題邏輯的表達能力和推理能力。
根據對當關系邏輯的基本語義和○A的定義，可以證明：
定理2.5.7 如果∑╞○A，則∑╞A。
定理2.5.8 A∧○A可滿足。
定理2.5.9 A∨○A不有效。
定理2.5.8和定理2.5.9表明A和○A之間既不滿足矛盾律也不滿足排中律，在此意義上可以說，一元連接詞○和*一樣既是弗協調連接符也是直覺主義連接符。
2.5.3 對當關系邏輯的擴充系統
如上節所述，包含一元連接詞○的對當關系邏輯公理系統只需在原系統中增加關于○的定義即可。在該系統中，還可以證明下述體現○的邏輯性質的定理：
定理2.5.10 ├（﹁A→○B）→（（﹁A→▽B）→A）
定理2.5.11 ├（﹁A→○B）→（（﹁A→△B）→A）
定理2.5.12 ├（A→○B）→（（A→△B）→﹁A）
定理2.5.10說明，如果由假設A不成立得出○B和▽B，那么這可以構成對于假設的反駁，從而得出A成立；定理2.5.11說明，如果由假設A不成立得出○B和△B，那么這也可以構成對于假設的反駁，從而得出A成立；定理2.5.12說明，如果由假設A成立得出○B和△B，那么這可以構成對于假設的歸謬，從而得出A不成立。定理2.5.11和定理2.5.12說明，我們既可以利用○B和△B進行反證法證明，也可以利用○B和△B進行歸謬法證明。
但是在該系統中，（﹁A→B）→（（﹁A→○B）→A）和（A→B）→（（A→○B）→﹁A）均不是定理，這說明我們既不能用B和○B進行反證法證明，也不能用B和○B進行歸謬法證明。
包含一元連接詞○的對當關系邏輯的形式語義是經典二值語義的擴充。利用○A的定義和對當關系邏輯的基本語義可以得出，一個包含○的對當關系邏輯的語義賦值是一個滿足條件：
如果v（A）=0，則v（○A）=0
的對當關系邏輯語義賦值。
在對當關系邏輯的判定程序中，只需將包含○（以及▽和△）的公式根據定義還原為包含*的公式就可以對包含一元連接詞○的公式進行判定。例如對于公式（A→○B）→（（A→△B）→﹁A）和（A→B）→（（A→○B）→﹁A），首先將其還原為公式（A→﹁*﹁B）→（（A→*﹁B）→﹁A）和（A→B）→（（A→﹁*﹁B）→﹁A），然后可以判定如下：
根據上述判定結果可以得出：公式（A→○B）→（（A→△B）→﹁A）是對當關系邏輯的定理，但是公式（A→B）→（（A→○B）→﹁A）不是對當關系邏輯的定理。
2.5.4 對當關系邏輯的應用
對當關系邏輯（及其擴充）系統在自然語言推理中有什么實際的應用呢？下面我們從兩個方面來進行分析。
1.基于對當關系邏輯的自然語言形式表示
經典命題邏輯具有可判定性，所以在處理實際的自然語言推理問題時，如果能在命題邏輯的范圍內解決，則盡量在命題邏輯的范圍內解決，而不去涉及謂詞邏輯。然而，經典命題邏輯中的二值一元真值連接詞只有“﹁”，它可以用來表示命題之間的矛盾關系；對于命題之間的差等關系、反對關系、下反對關系和逆差等關系，經典邏輯在命題層次上是表達乏力的。例如，對于下列一組命題：
（a）海豚聰明。
（b）海豚不聰明。
（c）所有海豚都聰明。
（d）所有海豚都不聰明。
（e）有些海豚聰明。
（f）有些海豚不聰明。
如果我們使用符號A表示命題（a），那么在經典命題邏輯的范圍內，只有命題（b）可以被表達為﹁A，但是對于命題（c）～（d）就無法表達了。即，在上述六個命題中，經典命題邏輯只能表達出其中兩個命題之間的矛盾關系。但是在對當關系命題邏輯中，如果我們使用符號A表示命題（a），那么除了命題（b）可以被表達為﹁A之外，其他四個命題也可以得到相應的表達：命題（c）可以被表達為○A，命題（d）可以被表達為▽○A，命題（e）可以被表達為*A，命題（f）可以被表達為△A。甚至根據需要，還可以有其它靈活的不同的表達，例如命題（d）還可以被表達為○△A，命題（f）還可以被表達為﹁○A、*﹁A和﹁▽﹁A等等。對當關系邏輯在命題層次上大大擴展了經典邏輯的表達能力。
2.基于對當關系邏輯的自然語言推理
盡管上述一組命題在經典一階謂詞邏輯中可以得到表達，但是我們知道經典一階謂詞邏輯是不可判定的，而對當關系命題邏輯是可判定的，這樣對當關系邏輯不僅增強了對于自然語言的表達能力，而且處理相關推理問題也有其方便之處。
在實際的應用中，我們可以首先利用對當關系邏輯的形式語言將自然語言的推理要素形式化，然后利用對當關系邏輯所提供的工具進行推理或者進行推理分析。
我們來看一個推理實例：
在一次科普調查中，關于統一場論問題，四人發表了如下議論：
甲：有人了解；
乙：如果我了解，那么丙不了解；
丙：或者乙不了解，或者丁不了解；
丁：有人不了解。
實際上，他們四人的議論只有一人說的是正確的，那么可以得出以下哪項結論？
A.甲了解，丁不了解
B.甲、丁都不了解
C.甲不了解，丁了解
D.甲和丁都了解
解析：如果我們用p表示“所有的人都了解”、q表示“乙了解統一場論”、r表示“丙了解統一場論”，那么甲、乙、丙、丁的陳述可以分別表示為：
（1）*p
（2）q→﹁r
（3）﹁q∨﹁s
（4）﹁p
另外，根據題意，命題q、r、s和命題*p之間是差等關系，根據對當關系邏輯可得：
（5）（q→*p）∧（r→*p）∧（s→*p）
因為在對當關系邏輯中，有定理*p∨﹁p，所以*p和﹁p必有一真，根據題意，乙和丙的議論是假的，因而有：
（6）﹁（q→﹁r）
（7）﹁（﹁q∨﹁s）
進一步有
（8）q∧r
（9）q∧s
結合（5）可得：
（10）*p
因為只有一真，即﹁（*p∧﹁p），所以丁的議論是假的，因而有
（11）﹁﹁p
因而有
（12）p
這樣可知答案是D。
而這一推理在經典命題邏輯中無法進行知識表示，進而也無法完成其推理過程。
我們可以進一步研究將經典命題邏輯的歸結推理方法擴展到對當關系命題邏輯之中，從而實現對相關知識的處理。
例如在上例中，我們就是要證明：
﹁（q→﹁r）∧﹁（﹁q∨﹁s）∧（q→*p）∧（r→*p）∧（s→*p）∧﹁（*p∧﹁p）→p
我們可以先將
﹁（q→﹁r）∧﹁（﹁q∨﹁s）∧（q→*p）∧（r→*p）∧（s→*p）∧﹁（*p∧﹁p）→p
化成合取范式，得：
q∧r∧s∧（﹁q∨*p）∧（﹁r∨*p）∧（﹁s∨*p）∧（﹁*p∨p）∧﹁p
建立子句集：
{q,r,s,﹁q∨*p,﹁r∨*p,﹁s∨*p,﹁*p∨p,﹁p}
對其進行歸結：
本章小結：由于存在著不同的否定類型，因此，相應地存在不同的不協調理論，本章給出了經典邏輯的一個擴充系統，建立了對當關系邏輯，描述了各種不同否定的邏輯特征，為解決不協調理論的推理問題給出了一個新的邏輯工具。
[2]［美］羅·格勃爾：《哲學邏輯》，張清宇、陳慕澤譯，中國人民大學出版社2008年版，第323頁。
[3]參見張清宇《弗協調邏輯》，中國社會科學出版社2003年版，第42—43頁。
[5]B.H.Slater,Paraconsistent logic?Journal of Philosophical Logic,1995,24:451～454.