1.3 傳感器的數(shù)學(xué)模型

傳感器作為感受被測(cè)量信息的器件，總是希望它能按照一定的規(guī)律輸出有用信號(hào)，因此，需要研究其輸入-輸出之間的關(guān)系及特性，以便用理論指導(dǎo)其設(shè)計(jì)、制造、校準(zhǔn)與使用。要在理論和技術(shù)上表征輸入-輸出之間的關(guān)系，通常的方法是建立數(shù)學(xué)模型，這也是研究科學(xué)問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)。

傳感器可能用來(lái)監(jiān)測(cè)靜態(tài)量、準(zhǔn)靜態(tài)量或動(dòng)態(tài)量，由于輸入信號(hào)的狀態(tài)不同，傳感器表現(xiàn)出來(lái)的輸出特性也不相同。為了便于分析，下面從靜態(tài)輸入-輸出關(guān)系和動(dòng)態(tài)輸入-輸出關(guān)系兩個(gè)方面建立數(shù)學(xué)模型。

1.3.1 傳感器的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型

傳感器的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是指被測(cè)量的值處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的輸出與輸入的關(guān)系。如果被測(cè)量是一個(gè)不隨時(shí)間變化，或隨時(shí)間變化緩慢的量，可以只考慮其靜態(tài)特性，這時(shí)傳感器的輸入量與輸出量之間在數(shù)值上一般具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，關(guān)系式中不含有時(shí)間變量。對(duì)靜態(tài)特性而言，傳感器的輸入量x與輸出量y之間的關(guān)系通常可用一個(gè)如下的多項(xiàng)式表示：

式（1-1）中，x為輸入量；y為輸出量；a0為零輸入時(shí)的輸出，也叫零位輸出；a1為傳感器線性項(xiàng)系數(shù)（也稱線性靈敏度），常用K表示；a2, a3, …an為非線性項(xiàng)系數(shù)，其數(shù)值由具體傳感器非線性特性決定。

傳感器靜態(tài)數(shù)學(xué)模型有以下3種有用的特殊形式。

1．理想的線性特性

其線性度好，通常是所希望的傳感器應(yīng)具有的特性，只有具備這樣的特性才能正確無(wú)誤地反映被測(cè)的真值。

2．僅有偶次非線性項(xiàng)

其線性范圍較窄，線性度較差，靈敏度為該曲線的斜率，一般傳感器設(shè)計(jì)很少采用這種特性。

3．僅有奇次非線性項(xiàng)

其線性范圍較寬，且相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是對(duì)稱的，線性度較好，靈敏度為該曲線的斜率。使用時(shí)一般都加以線性補(bǔ)償措施，可獲得較理想的線性特性。

1.3.2 傳感器的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

傳感器的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)傳感器的響應(yīng)特性。很多傳感器要在動(dòng)態(tài)條件下檢測(cè)，被測(cè)量可能以各種形式隨時(shí)間變化。只要輸入量是時(shí)間的函數(shù)，則其輸出量也將是時(shí)間的函數(shù)，其間的關(guān)系要用動(dòng)態(tài)特性來(lái)說(shuō)明。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型一般采用微分方程和傳遞函數(shù)描述。

1．微分方程

忽略了一些影響不大的非線性和隨機(jī)變量等復(fù)雜因素后，可將傳感器作為線性定常數(shù)系統(tǒng)來(lái)考慮，因而其動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)表示，其解得到傳感器的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

式（1-5）中，x（t）為輸入量，y（t）為輸出量，an, an-1, …a1, a0; bm, bm-1, …b1, b0分別為與傳感器結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。

對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)，其微分方程的建立和求解都是很困難的。有時(shí)也可以采用傳遞函數(shù)的方法研究傳感器的動(dòng)態(tài)特性。

2．傳遞函數(shù)

對(duì)式（1-5）兩邊取拉氏變換，則得：

H（S）即為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。等號(hào)右邊是一個(gè)與輸入無(wú)關(guān)的表達(dá)式，只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，可見(jiàn)傳遞函數(shù)H（s）是描述傳感器本身傳遞信息的特性，即傳輸和變換特性。傳遞函數(shù)可由輸入激勵(lì)和輸出響應(yīng)的拉普拉斯變換求得。當(dāng)傳感器比較復(fù)雜或傳感器的基本參數(shù)未知時(shí)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)求得傳遞函數(shù)。