前 言
本書脫胎于北京大學哲學系本科“數理邏輯”課程的講義，書名從課名。原講義在實際使用中，經過了多次刪改與修補，最后成書時，我們做了進一步的加工，重寫了若干部分，增加了一些內容，以求能夠滿足更大范圍的讀者的需要。
下面就本書的內容及編寫方式做幾點說明。
第一，這是一本入門教材，針對邏輯學的初學者，尤其是初學邏輯的學生，而不要求讀者有數學方面的預備知識。在內容方面，本書只介紹一階邏輯的最基本的知識和技術，包括一階語言的語形和語義、一階推演系統、一階邏輯的完全性定理等。這些知識和技術已經成為邏輯入門的必要裝備，也因此構成目前大學教育的一個基礎部分，在哲學、語言學等文科專業和數學、計算機科學等理科專業里，普遍列為必修或選修的內容。當然，按照一種比較理想的要求，大學生對邏輯的了解，還應該包括更深層次的內容，如適當部分的模型論、基本的不可判定性結果、哥德爾不完全性定理的證明等。但這些更深層次的內容適合于在更加專門的課程中介紹。按照許多學校的安排，在邏輯的入門課之后，還有相應的進深課程，供有興趣的同學選修。我們在課程設置上，也采取了這個策略。在這樣的安排之下，本書的內容，對應于大學本科的第一門“數理邏輯”或“符號邏輯”課程。
第二，根據我們的經驗，本書的主要部分，如果安排得緊湊一些，可以構成一學期的教學內容，以每周4學時的進度講述完畢。如果使用者面臨不同的情況和不同的需要，可以有所取舍，而不必按部就班地涵括全部章節。比如，第一章緒論可以做不同程度的減縮；對于已經具備素樸集合論基礎知識的讀者，第二章可以省略；第三章關于項和公式的讀法唯一性的部分，有些教師也許認為不必講述嚴格的證明，只要提一下結果即可；另外，如果只注重經典邏輯，則第五章的極小邏輯和直覺主義邏輯部分，就不需獨立討論，而它們與經典邏輯的關系，以及第六章中對于直覺主義邏輯完全性的證明，都可省略。這樣省下來的時間，可以加在某些重點章節上，也可以用于彌補一些薄弱環節。比如，一些教師愿意在語義學部分花更多的時間，或認為自然語言與形式語言之間的翻譯方面，需要單獨提出來，進一步加強練習。
第三，如前所述，本書除經典邏輯外也介紹了一點非經典邏輯，重點是直覺主義邏輯。這是出于以下的考慮：直覺主義思想在數學哲學和語言哲學中占有重要地位，它的方法和技術在邏輯的一些分支及其實際應用中也有廣泛的價值，因此，學生和一般讀者都有了解直覺主義邏輯的需要。另外，直覺主義邏輯既然可以處理為經典邏輯的一個子系統，那么對于它的介紹，就不需要另做鋪陳，而可以在介紹經典邏輯的進程中順帶展開，相比較而進行。這或許也有助于加深對經典邏輯的了解。
第四，許多通行的邏輯教材，把命題邏輯與謂詞邏輯分開處理，先講前者，再過渡到后者。這個順序有很多好處，既突出了命題邏輯，又符合由簡入繁、循序漸進的教學原則。但本書采取了另一種“套路”，即把命題邏輯“嵌入”一階邏輯里，起頭便提出整個一階語言，而不單獨介紹命題邏輯語言，在討論聯結詞的語義解釋時再借助公式的“布爾形式”引出命題邏輯語言，到推演系統一章才用聯結詞規則自然地定義相對獨立的命題邏輯推演。我們之所以這樣做，主要是考慮到對于文科同學而言，一開始就與命題邏輯這樣一個代數系統打交道，多少有脫離語言直觀的感覺，反而如果是從謂詞、量詞等入手，則較容易維持一種“實在感”和學習的動機。另外，這種“籠統”的做法也許強調了一階語言和一階邏輯的整體性。
第五，在推演系統部分，我們選擇了自然推演，而沒有介紹公理系統。這也是為了在最大程度上保持讀者在日常推理中積累的經驗和直觀。另一個原因是，自然推演傳達了這樣一種理解：邏輯是推演規則（而數學的或其他的理論的公理都是非邏輯的）。這個理解符合某種傳統的看法，也切合邏輯在數學等領域的實際應用。自然推演可以有多種形式，我們采取的是較為傳統的Gentzen樹形推演。這種形式，與其他形式比較，寫起來或許稍麻煩，但每一步的前提和結論的關系一目了然，是各個引入或消去規則的最直觀的圖示，理論上既優美，使用起來也并不格外困難。
最后，整體而言，本書在介紹基礎知識的同時，強調了幾種基本的技術和方法，包括語形對象（項、公式、推演等）的歸納定義以及由此而來的歸納證明，一致公式集的極大擴張以及建立項結構的自然的方法（Henkin方法）等。對于這些抽象的知識與方法，我們試圖在不失精確性的前提下，盡量做相對直觀的討論，以求明確其背后的思想，不使讀者迷失在技術的細節中。另外，本書的習題編排在各個段落里，而不是各章的末尾。它們是相關內容的延續：有些習題，是對前面內容的直接補充；還有些習題，本身就是新的內容，若是跳過，便影響對后面段落的理解。這種編排，是為了“迫使”讀者在閱讀中動手做題。邏輯的學習，與數學的學習一樣，只有通過練習才能加深對于相關概念的理解。
北大哲學系本科2003、2004和2005級的同學使用這本講義修習了“數理邏輯”課程，并對講義的編寫慷慨地貢獻了自己的問題和意見。劉壯虎、周北海和葉峰等教研室同事審閱了本書的初稿，訂正了一些不妥之處。北大出版社的吳敏耐心地檢查、修正和加工了全書的文字和符號。編寫者對他們致以衷心的謝意。本書的編寫，還受到教育部“十五”國家級規劃教材項目的資助，在此一并致謝。
邢滔滔
2007年9月