1.6 傅里葉級數與傅里葉變換

傅里葉（Fourier）是一位法國數學家和物理學家，他于1807年在法國科學學會上提交了一篇論文，論文論述運用正弦曲線來描述溫度分布的方法，論文里有個在當時具有爭議性的結論：任何連續周期信號都可以由一組適當的正弦曲線組合而成。

當時審查這篇論文的拉格朗日堅決反對此論文的發表，認為傅里葉論文中的方法無法表示帶有棱角的信號，比如在方波中出現非連續變化的斜率的情況。

從學術的嚴謹角度來說，拉格朗日是對的，正弦曲線確實無法組合成一個帶有棱角的信號（即斜率變化非連續的狀況）。但如果用正弦曲線的疊加來無限地逼近這個帶棱角信號，一直達到兩種表示方法的差別遠小于我們所允許的誤差的話，那這種方法也還是可以用的。因此，傅里葉的描述在工程上是具有實用價值的。

為什么要用正弦/余弦曲線來疊加表示原來的曲線呢？除了可以近似相等，就沒有別的考慮嗎？這里為什么不用方波或三角波啊？實際上正弦/余弦信號還是具有自己獨特的優勢的。

正弦/余弦擁有其他類型信號所不具有的特性：曲線保真度。也就是說，一個正弦/余弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正余弦曲線，只有幅度和相位可能會發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的，而且只有正弦/余弦曲線才擁有這樣的性質，其他曲線都不能保證這一點。那為什么會有曲線保真度呢？請讀者自行查閱相關教學資料。

電子信號源有四種不同的信號，分別是非周期性連續信號、周期性連續信號、非周期性離散信號、周期性離散信號。與這四種信號類型相對應，就產生了四種傅里葉變換形式，如表1-6所示。

這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的長度是無限的，但這對于計算機處理實際問題來說是不可能的，所以在設計上必須首先將有限的實際信號轉換成無限長的信號。

但方法總比問題多，例如，把信號無限地從左到右進行延伸，延伸出去的部分用0表示，這個信號就可看成非周期性離散信號，就可以用到離散時域傅里葉變換（DTFT）的方法。

如果把信號以“復制”“粘貼”的方式延伸，就變成了周期性離散信號，可以用離散傅里葉變換方法（DFT）進行變換。

計算機時代的到來，設計師在軟件的信號處理方面，面對的都是離散信號，而且計算機只能處理離散的、有限長度的數據。因此，只有離散傅里葉變換（DFT）才適合離散信號的變換，本書中的傅里葉變換的中心也將放在DFT的應用上。

1.6.1 傅里葉級數

對于周期函數，其傅里葉級數總是存在的。

Fn是復幅度，對于實值函數，傅里葉級數可以寫成

1.6.2 傅里葉變換

連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數（Fourier Series）的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數，其傅里葉級數總是存在的。

傅里葉變換是一種線性的積分變換，如果不加修飾定語的話，一般默認指的是連續傅里葉變換。傅里葉變換的基本思想是由法國數學家傅里葉首先系統地提出，并以其名字來命名的。連續傅里葉變換可將平方可積的函數f (t)表示成復指數函數的積分或級數形式。

傅里葉變換本質上是一種從時間到頻率的變化或兩者的相互轉化，其展開式如下

δ函數的傅里葉變換為

一些傅里葉變換及逆變換公式如下

傅里葉變換的性質如下，這里F[f(x)]=F(ω)。

（1）相似性質：

（2）延遲性質：

（3）位移性質：

（4）微分性質：

（5）積分性質：

我們可以利用傅里葉變換的微分和積分性質求解微積分方程。

1.6.3 傅里葉變換與工程應用

給定一個周期為T的函數x(t)，那么它可以表示為無窮級數

式中，j為虛數單位，ak可以按下式計算。

設

它是周期為T的函數，故k取不同值時的周期信號具有諧波關系（即它們都具有一個共同周期T）。

● k=0時，公式（1.14）中對應的項稱為直流分量；

● k=1時，具有的基波頻率，稱為一次諧波或基波。

以此類推，類似的還有二次諧波、三次諧波等。

傅里葉變換的工程應用是對信號先做傅里葉變換，將時域信號轉化為頻域信號相疊加的形式，然后將其中不要的頻率分量給濾除掉，最后進行傅里葉逆變換，就可得到想要的時域信號。這就是數字濾波器的根本操作原理。