1.3　圖像處理與數學的關系

在圖像處理研究與發展過程中，數學始終起著舉足輕重的作用，并滲透在多個研究層次的所有分支之中，而且很多圖像處理的實用技術伴隨數學領域新的進展引入而產生并得到廣泛應用。本節將對網絡上查到的公開資料重新進行有選擇地組織，以使讀者豐富對圖像處理原理和技術發展脈絡的了解進而得以拓展思維。

1938年，德國人Frieser就提出使用亮度呈正弦曲線分布的分劃板來檢驗成像系統的分辨率，使用這樣的分劃板，成像后像的亮度仍然呈正弦曲線分布，只是正弦振幅有所降低。1946年法國Duffieux運用Fourier變換這一數學工具來解決光學問題。1948年，美國電視工作者Schade運用通信論的觀點，用光學傳遞函數來評定電視系統的像質。

到20世紀六七十年代為止，以傅里葉分析為代表的線性處理方法占據了幾乎整個模擬圖像處理領域。而計算機的出現以及信息論、控制論等新理論的提出，也促進了數字圖像處理的誕生和成長。借助于隨機過程理論，人們建立了圖像隨機模型；通過概率論以及在此基礎上建立的信息論建立了圖像編碼的框架；線性濾波（維納濾波、卡爾曼濾波等）方法為低層圖像處理提供了有力的理論支持；而快速傅里葉變換則被廣泛應用在圖像處理的幾乎所有分支中。這些數學工具極大地促進了圖像處理的發展和應用。

自20世紀80年代開始，非線性科學開始逐漸滲透到數字圖像處理方法之中，許多新穎的數學工具被引入到圖像處理領域，使相關的理論變得多元化和實用化。尤其以小波和多尺度分析為代表的信息處理方法，繼承和發展了傅里葉分析的精華，將函數論和逼近論的最新成果應用在工程實踐中，并建立起了完整的系統框架，在圖像編碼、圖像分割、紋理識別、圖像濾波、邊緣檢測、特征提取和分析等方面的應用中，已經取得了非凡的成果。目前，以小波分析方法為基礎的多尺度分析方法業已成為信號處理的基礎理論之一。

同時，其他非線性的數學工具的應用也取得了豐碩的成果，如分形在圖像編碼和紋理識別中的應用，且分形圖像朝著具有藝術性的、根據某一規則的子圖像元素生長的數學表示方向發展。李群在動態圖像彈性形變識別中的應用，多尺度分析在圖像檢索和識別中的應用，非線性規劃在矢量量化和圖像編碼中的應用等等。另外，圖像確定性模型（BV 模型）的建立、模糊數學對圖像質量的評價體系、Meaningful理論對圖像距離的研究是對圖像本質的進一步刻畫，使計算機可以更貼切地描述人類的視覺系統。而在20世紀90年代的理論發展，開始擺脫對Marr生物視覺系統范疇的依賴。

一方面，基于非線性發展（偏微分）方程的圖像處理方法成為近年來圖像研究的一個熱點。它從分析圖像噪聲去除的機理入手，結合數學形態學微分幾何、射影幾何等數學工具，建立了濾波和偏微分方程相關的公理體系。另外，它在圖像重構、圖像分割、圖像識別、遙感圖像處理、圖像分析、邊緣檢測、圖像插值、醫學圖像處理、動態圖像修補、立體視覺深度檢測、運動分析等多個方面都得到了應用。在研究過程中所提出的一些新的概念，如主動輪廓（active contour，snakes）、水平集（level set）等，把數學和圖像有機地聯系起來。

另一方面，圖像處理的實際需求和工程背景也刺激了一些數學分支的發展，如小波理論的研究動力來源于信號處理中對于時頻局部化分析的需求，而且在理論體系建立起來之前已經有了廣泛的應用；偏微分方程的黏性解概念的提出也是因為在圖像處理的應用中應用條件不滿足各種微分學中的假設；對于投影幾何的研究也由于圖像鑲嵌的需求而變得更加細致。

近年來，我國高校的數學系設置了信息與科學計算專業，如北京大學數學科學院信息科學系，作為近年快速發展的一個新學科，它運用近代數學方法和計算機技術解決信息科學領域中的問題，應用十分廣泛。圖像處理是其中一個非常重要的方向，許多學校或研究所都把圖像處理作為一個重點發展方向。

為了進一步關注圖像處理領域中涉及的數學問題，并使數學研究人員對相關數學問題的工程背景有所了解，國內高校和研究所組織相關單位成立協會并召開學術會議。比如在1990年成立了中國圖象圖形學學會。它由我國從事圖象圖形學基礎理論與應用研究，軟、硬件技術開發及應用推廣的專家學者和相關科技工作者組成。國內著名的高等學校、科研院所以及IT企業都是該學會重要成員單位。學會的宗旨是團結廣大圖象圖形科技工作者，積極開展圖象圖形基礎理論和高新技術的研究，促進該學科技術的發展和在國民經濟各個領域的推廣應用。該學會專業領域涵蓋了數字圖像處理（增強、復原、重建、分析）、圖像理解、計算機視覺、圖像壓縮與傳輸、體視技術、科學計算可視化、虛擬現實、多媒體技術、模式識別、計算機圖象圖形學、醫學影像處理、計算機動畫、電腦游戲、數碼藝術、影視特效、數碼相機、DV、空間信息系統等。通過開展科學研究與學術交流，活躍學術思想，促進學科發展，推廣先進技術，培養和推薦優秀科技人才，普及圖象圖形科技知識，傳播科學思想和方法，編輯出版學術和科普書刊，開展與國際學術界的交流與合作，加強同國外學術團體和科技工作者的友好交往，向社會提供技術咨詢和服務。學會自成立以來，在國內已舉行了十八屆學術年會開展學術交流，活躍了學術氣氛，增強了國內從事圖象圖形科技研究的科技工作者之間的互相聯系和交流。創刊于1996年的《中國圖象圖形學報》為中國圖象圖形學學會會刊，突出學術研究，反映圖象圖形信息科學具有創造性、高水平和重要意義的科研成果，強調實際應用，反映國家圖象圖形信息科學實用技術和科技進展。

進入21世紀以來，隨著電子計算機和Internet網絡技術的飛速發展，圖像處理的發展也進入了一個新的飛躍階段。同時，圖像處理和計算機視覺的工程應用中也還有許多數學問題尚待解決。