2．三門問題引發的思考：概率究竟是什么？

上面所述的“三門問題”雖然只是一個有趣的游戲節目，但學者們卻從中探索了不少深刻的數學和哲學問題。概率論就是一門如此有趣的學問，許多問題看起來簡單，每個人似乎都認為自己懂了，都能得到自己的解答，但后來卻發現答案互不相同，各派人士紛紛發表自己的觀點，卻往往難以說服對方，引起一場又一場的辯論。

事實上，三門問題貌似簡單，實際復雜。在上一節的最后，根據主流派的分析得到“當然要換”的結論，實際上有些不公平。早在1975年，加州大學伯克利分校的生物統計學教授史蒂夫·塞爾文在《美國統計學家》（American Statistician）期刊上的論文中提出了這個蒙特·霍爾問題，幾十年來，對這個概率問題的結論，不同觀點很多，而且爭論不休。據說爭論一直延續到現在，已經有好幾十篇論文發表在40多種學術和公眾刊物上，并時有在論文、書刊和電視上引發討論。

其中最為引人注目的是1990年在“Ask Marilyn”（“瑪麗蓮答問”）專欄上的討論，其專欄主持人瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant,1946—）曾經被吉尼斯世界紀錄認定為擁有最高智商的女性，因為瑪麗蓮在剛滿10歲時初次接受史丹福-比奈智力測驗，測得智商高達228。1985年，35歲的瑪麗蓮參加了成人標準差智力測驗，48題中，她回答正確46題，標準偏差值為16，智商為186。

瑪麗蓮從事文學創作，之后又開辟了“Ask Marilyn”專欄，專門回復讀者從數學到人生之各式各樣的問題，蒙特·霍爾問題便是其中引起廣泛爭論，但是最后瑪麗蓮大獲全勝的一個典型案例。

瑪麗蓮在專欄中解釋了三門問題的一些含糊之處，過濾掉許多變種的版本，將其規范化為標準陳述，并以通俗易懂的方式證明了她堅持的結果：交換使贏得汽車的概率增加到2/3！這也就是我們在前面一節中的敘述方式和答案。

對此問題，主要反對一方的觀點和結論如下：

不管有多少個門，不管主持人如何選擇和打開這些門，按照標準的游戲規則，到最后一步，參賽者面臨的都是兩道門中二選一的問題，兩道門中一道后面是汽車，一道后面是山羊。選擇任何一個的概率都是1/2，所以交換不交換，得到汽車的概率均為1/2，所以換不換無所謂。

以上反駁方的觀點聽起來貌似有理，也符合成千上萬人的直覺。因此，當年的瑪麗蓮攤上了大事，成千上萬封讀者來信中，90%以上都是反駁她的觀點，其中不乏博士、數學家和學者，也包括該游戲的節目主持人蒙特·霍爾。有些來自數學和科學界的信中，不但反對她的答案，還嘲笑她的觀點是出于女人的直覺，勸她修了概率課后再來談這個問題。反駁者中最著名的人物恐怕要算匈牙利籍數學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s,1913—1996），這是一位到現在為止最高產的數學家，發表論文數高達1525篇。

不過，高智商才女不是那么容易認輸的。她借著這股討論的熱潮，在全國范圍內的學校數學課里組織了一個統計實驗。受到她的啟發，又有幾百個人以不同的方法，對三門問題用計算機做仿真實驗，這些實驗結果都支持了她的結論：交換對參賽者更為有利！理論畢竟需要實驗的支持，在不得不令人信服的數據面前，當初堅決反對瑪麗蓮的保羅·埃爾德什也被說服了，瑪麗蓮獲勝，一時間聲名大振。

實際上，將這個問題換成如下說法，答案也許更容易被人接受（以十門為例）。

鮑勃拿出10個盒子，其中一個有鉆戒。鮑勃知道有鉆戒的是哪一個，愛麗絲不知道?？紤]如下兩種情況：

（1）愛麗絲選了一個盒子放進她的包，鮑勃將剩下的9個盒子放進自己包，然后問愛麗絲是否愿意互換包。

（2）鮑勃將9個盒子中沒有鉆戒的8個盒子丟進了垃圾箱，剩下1個留在包里，問愛麗絲是否愿意換包。

兩種情形實際上是完全等效的，但給人的直覺卻大不一樣。第一種情況下，愛麗絲的包里只有1個盒子，鮑勃的包里有9個盒子，9對1，顯然鮑勃的包里有鉆戒的概率更大。第二種情況，兩個包的盒子數成為1對1，使人直覺地認為概率都是1/2，換不換都一樣了。

這個問題又一次告訴我們，不要輕易相信直覺，特別是對于概率問題而言。

對于公眾而言，瑪麗蓮似乎解決了“三門問題”，她的結論被視為一種“標準答案”。但是，數學家們并未在此問題上止步，20世紀90年代之后又有多篇學術論文研究這個問題。其中一個典型例子是1991年摩根等4位美國數學和統計學的教授在 American Statistician上發表的論文【15】。他們用下面一節將介紹的貝葉斯推斷來考察這個例子，說明了即使是對瑪麗蓮的標準問題，反對者的答案也都有道理，到底是哪一個答案對，還取決于主持人選擇時的想法！一直到2011年，還有論文在討論這個問題【16】。

在此我們并不詳細介紹在瑪麗蓮之后的各個論文的觀點及結論，也避免簡單地判定誰對誰錯，僅在下面幾節談談該游戲引發的重要思考之一：概率究竟是什么？