小結
至此，我們已經基本上走完了我們的第一站。在旅途中我們了解了關于自然數的許多事情。
最后讓我們做一下簡單的回顧與總結。不過要輕松點，不要把這一總結看得太嚴肅了，這種總結正如你在游覽完某一景觀后，在回來的路上輕松地回憶自己看到的風景而已。
首先，我們提到了數的起源。我們先是知道了數的概念遠在文字使用以前很久就有了。這一點可以通過追溯到舊石器時代的文物的發現得以證實。如已提到的刻痕記數至少存在于三萬年以前。可是人類能夠把他們的活動記錄和思想用書寫的形式表達出來，只不過才有六千年的歷史。因此對史前時期的資料，我們必須依賴對少數殘骸的翻譯和解釋，依賴于人類學提供的證據，并且依賴對一些斷簡殘篇的推測。正因此，我們只能給出自然數起源的一個大概的也不一定準確的輪廓。
數的起源原因可以歸為內外因的結合。革命導師恩格斯說過：“數和形的概念不是從其他任何地方，而是從現實世界中得來的。”早期的數學處于經驗的摸索階段，它要以生活中的需要作為摸索求知的動力。數學知識起源于人們的實際需要：例如鳥獸的頭數等等。如果認為：是“人類智力”為自己設計出了用于計算的數，那就錯了，因為正相反，人們在想出數的本身之前就以艱難而辛苦的方法進行著計數了。數的起源，從字義上看，數（shu）起源于數（shu），即計數。但誠如一切科學的產生一樣，數學產生不但依賴于人類社會的實踐、生活的需要，還得益于人類獨特的發達的大腦。最初，原始人所具有的只限于現代我們看來非常幼稚的數覺，但這卻是人類產生數概念的起點。在數覺與外界條件影響下，人們開始了艱難地計數歷程。計數的發展是人類進步的標志之一。為了計數，不僅要有可以計數的對象，而且還要有從現實世界中抽象的能力。人類在一開始的時候這種抽象能力是極其有限的。事實上，原始人類，為了區分出“一”與“多”恐怕就經歷了一個長期的時間吧。當從“多”中分出“二”、“三”等單個數目的概念時，意味著原始人的抽象能力已有了一個不小的飛躍。
事實上，從頭幾個數的寫法，就可推想4以后的數字出現要晚得多。可以猜想人類有一個很長的時期停留在只知道前兩三個自然數的階段上，在古漢語中“三”不就常泛指多嗎？有些地區，“七”這個數字長時間用來表示不確定的大數，且在俄羅斯諺語中還保留了這個時代的痕跡，如“量七次，剪一次”（相當于“三思而后行”）“七個保姆，沒有人看孩子”（相當于“一個和尚挑水吃”）。
當數目較多時，人類發展出兩種計數的方式：由一一對應產生出基數的概念；由序列產生出序數的概念。前者用來回答“多少個”，后者用來回答“第幾個”。這樣就產生了兩種理論：基數理論與序數理論。這個工作是在19世紀末分別由德國數學家康托爾和意大利數學家皮亞諾完成的。這是后話。事實上，對應和序列，這兩大原理已經深深滲透進全部數學之中，交錯地編織在我們數系的錦繡天衣之上。
而在歷史上，基數與序數概念的產生是一個漫長的過程。甚至于它們中是哪一個先產生的，我們也不能給出完全確定的結論了。我本人傾向于基數在先，你又有何高見呢？至于如何區分兩者，你搞明白了嗎？
隨著生產、生活的需要，模糊的數的概念在原始人頭腦中日漸形成了。人們先認識了與實體相聯系的具體的數。如提到2，在他們心里所想到的是“人的耳朵那么多”或“兩塊石頭”等等。數與具體事物結合在一起，在人類發展的黎明時期，還不可能把它們抽象出來。再往后，與實體相脫離的真正抽象的數才被確定下來。我們前面已經提到過抽象的數是經過漫長的時間才形成的。在這一過程中給數命名大概起了很重要的作用。這種從具體的數到抽象的數的形成，意味著人類的抽象思維水平有了一個巨大的提高。反過來，思維水平的提高又會進一步加強人類對數的認識。事物的發展過程總是如此互相促進互相發展的。
數的概念初步形成后，隨著文字的出現，人類又考慮如何把數字用符號表示出來。第一步是產生了記數符號。抽象符號的出現，是記數史上的一大飛躍。它也使抽象的數的概念最終定了型。表示數，當數目較少時，采用“傻學生”的辦法就是可以的。但是隨著數目的增大，就需要簡化符號。于是有了第二步：進位制的發明。進位制的思想實際上遠在原始人對數進行命名的時候就已具有了。到了記數的時候，這一思想就被古代許多民族不約而同地采用了。不過，不同的民族所采用的進位基數并不相同，甚至可以說是各式各樣的。二進、三進、四進、十二進、六十進……但更多被使用的是五進、二十進尤其是十進，這主要是由于人類手指數有十個的緣故。我們對部分重要些的進位基數做了簡單的介紹。除了基數不同外，不同的民族對于進位所用的方法也不盡相同。有的是采用加法累數制、有的是用乘法累數制，有的是用分級符號制。進位制的產生，表明人類抽象思維的能力有了進一步發展。但這一些進位方法存在共同的缺陷。其一是記數方法笨拙，當數目較大時，往往要用很多的符號用很長的形式來表示。其二，這種記數方法無法用有限的符號表示出任意大的數目。其三，采用這些記數法來進行數的運算是相當困難的。所以這類記數法只能在人類發展的較低級階段是合適的，那時用不到大的數目，也沒有太大的計算。但是當人類發展到較高階段后，這類記數法的使用就阻礙了算術的進一步發展。在歷史上，歐洲數學在16世紀前之所以落后的原因很大程度上就是他們一直采用笨拙的羅馬記數法所造成的。因而，隨著社會的進步，從邏輯上講必須產生出一種新的記數法：位值制記數法。然而歷史的發展往往與邏輯不相符。許多民族邁出這關鍵性的第三步經歷了極其艱難的歷程。如在歐洲笨拙的記數法甚至已經窒息了算術的發展了，但人們仍然沒有自覺地去革新這一記數法。可見，慣性的力量是何其巨大，而革新是何等得困難！實際上，最后歐洲人的革新也不是從自己內部開始的，而是借助于外來的刺激。前面我們已經提到了斐波那契對歐洲所做出的重大貢獻。而且我們還看到，即使在斐波那契為西方引入了新的極其優越的記數法后，新與舊的較量仍然持續了那么久的時間呢！
對此，我們會有何感慨呢？尤其是想想明清時代，我們內部的一些東西早已不適應社會的發展并阻礙著社會的進步時，我們自己革新了嗎？當我們需要從外來新鮮事物中汲取力量時，我們反而越來越抱緊自己的東西，閉關自守，盲目排外，拒不接受外來事物。最終造成的惡果是我們與外國的差距越來越大。這樣的教訓對我們來說難道還不慘重還不深刻嗎？實際上，發現自己不如人并不可怕。可怕的是發現這一點后拒不承認或者采取回避的態度。當我們不如人的時候，讓我們坦白地承認好了，但這種坦白的背后是“我總會超過你的”堅定信念。先承認自己的落后，然后拿出“拿來主義”的勇氣努力學習別人的長處，奮起直追，唯有如此才能將信念化為現實。當今我們民族的處境不正要求我們樹立這樣的信念與態度嗎？
為什么位值制的使用在一些民族竟然經歷了如此艱難的歷程呢？在古巴比倫人那里就已有了位值制的觀念，為何古希臘人未能接受這一理論上而言要先進得多的觀念呢？前面我們已經看到，古巴比倫的位值制記數法由于不完善造成一些記數方面的混亂，這恐怕是希臘人放棄位值制的重要原因。而要完善位值制，所需要的只是零的使用。古希臘人對巴比倫人的位值制思想存在的問題不是想辦法完善，而是采用了放棄的方式，最終導致其數學發展的滯后。這不也是一個教訓嗎？在革新過程中，有些先進的思路可能由于沒有配套措施而行不通，這種時候是放棄呢，還是想法去完善它？歷史表明，人們往往只是因為缺乏一個“哥倫布雞蛋”而放棄掉一種先進的觀念或思想呢！以史為鑒，但愿這樣的教訓能夠為我們盡量所避免。
說的這些看似題外話，但又不盡然。學習歷史，不單單是記住一些結論，而且更重要的是從中得到一些教益。所以，在后面的部分章結中你還可能讀到這樣的題外話。如果能對你有所啟發，那將是我更愿意看到的。好了，讓我們再轉回到正題上。
最后，不管怎么說，在花費了難以置信的勞動，發明了現在視為常識般簡單的東西后，人類最終采用了完善的十進位值記數系統：印度-阿拉伯記數法。歐洲人在16世紀初，采用了這種記數法。這一記數法13世紀時由伊斯蘭教徒從西方傳入我國，卻在很長時間內未被推廣采用。直到1885年在上海出版《西算啟蒙》后我們才使用了這一國際通用的記數法。這是由于與我國自己的算籌記數法相比，新的記數法的優越性沒有如此突出的緣故。在這一點上，你是不是也有所啟發呢？
自然數的概念產生后，在數學上就一直被當作最明顯、最基本的概念來應用了。多少世紀以來，沒有發生用更簡單的概念來說明定義它的問題，直到19世紀，在數學公理化方法發展的影響下，才提出“自然數是什么”的問題。這是后話，我們將放在后面的章節中做討論。
自然數產生后，除了記數問題外，還伴隨著產生了許多其他問題。這是我們在第二節中所談論的問題。
首先，談到了數的計算。在未采用優越的記數法以前，許多民族的計算方法極其煩瑣，而使得多數人根本不可能掌握。但在采用了優越的記數法后，計算問題就變得非常簡單了。我們已提到過，從這一對比中，我們可以領悟到優越記數法的優越處不僅體現在記數上還體現在數的計算上。在算術發展過程中，由于實踐和理論上的要求，提出了許多新問題，在解決這些新問題的過程中，古算術得到了進一步的發展。在尋求求解應用問題的一般方法中，發明了抽象符號，從而發展成一古老分支，初等代數。這是后話了。
然后，我們介紹了數產生后出現的另一類問題。這一類問題現在被包含在稱為“數論”的數學分支中。雖說包括我國在內的許多民族都曾有過數論的萌芽，但只是在古希臘才對數論進行了更為廣泛的研究。
為什么會這樣？非常可能是由于古希臘的特殊背景造成的。在古希臘存在著一個特殊的階層。這一階層的人們可以專務抽象思考，而不用去操心生計及其他事情。對這些處于社會高層的人們來說，計算的實際應用被叫做計算技能并被認為是不成體統的事，是為“最低層的”人們提供日常生活和事務上的相互關系。而當時的高層人包括畢達哥拉斯要把算術放在“高于商業需要的”地位。因此他們更重視研究的是數的性質，而不是實際的計算。
因而，從某種角度上說，數學是一種文化系統。它受到各民族各自特殊的社會、文化背景的深刻影響。當追溯歷史時，這一點可能更加明顯。實際上，16世紀末以前的數學，各民族相對獨立地發展，形成本民族的文化特色，如埃及、巴比倫、中國、印度、瑪雅，希臘、阿拉伯以及歐洲中世紀的數學。除了后面三種有繼承關系之外，其他各民族在數學問題、內容、方法上是各具民族特色。
在這一部分中我們還提到了數的計算與數的性質研究所具有的巨大差異。現在數的計算早已不成問題，而數論問題的證明卻是困難重重。因而在現在我們更需要將眼光投到后者上面。有那么多的數論問題等著人們去解決，你能攀上這些數學高峰嗎？
最后我們介紹了抽象數產生后所產生的數字神秘化、數字崇拜直到數字迷信。我們已經提到，這一過程在古代往往是不可避免的。各民族都經歷了這一過程就是最好的證明。但是，早期合理的東西，在發展過程中就不一定再合理。這是事物發展的必然過程。一事物剛出現時，是新事物，但隨著社會發展就會變成舊事物，當它已成了舊事物時，如果再敝帚自珍，就是一件很可悲的事了。對待我們的數字文化就應持這種態度。而對數字迷信之類，就更要將之掃地出門了。在科學進步到現今階段的時候，還相信或者拿占卜算命之類把戲騙人就真是我們民族的悲哀了！