小結(jié)

在走過(guò)這一站后，讓我們?cè)賮?lái)歇歇腳，同時(shí)回顧一下我們一路上所見(jiàn)的風(fēng)光。

首先，我們?nèi)チ私饬朔謹(jǐn)?shù)的幾種不同來(lái)源方式。不同的民族對(duì)分?jǐn)?shù)的引入方式不同，認(rèn)識(shí)也不同。古埃及人引入了單分子分?jǐn)?shù)；古巴比倫人引入的是六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，這一用法至今仍保存在時(shí)間的表示與天文學(xué)中；古希臘人一開(kāi)始是把分?jǐn)?shù)作為整數(shù)的比看待的；相比而言，我國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更完整一些。在這一部分中，我們還簡(jiǎn)單介紹了分?jǐn)?shù)記法的演變過(guò)程。事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)符號(hào)大都經(jīng)歷了一個(gè)復(fù)雜與漫長(zhǎng)的演變過(guò)程，才最終成為現(xiàn)在人們所通用的形式。

隨后，我們介紹了分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。在這一方面，我國(guó)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在了世界其他民族前面。在談到這一現(xiàn)象的原因時(shí)，我們可以簡(jiǎn)單提到天文學(xué)對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的巨大推動(dòng)作用。可以說(shuō)，中國(guó)數(shù)學(xué)的早期發(fā)展是同天文學(xué)研究的需要密切聯(lián)系在一起的。最早熟練運(yùn)用分?jǐn)?shù)運(yùn)算的《周髀算經(jīng)》就是一部天文數(shù)學(xué)著作。由于“中國(guó)古歷法所有天文數(shù)據(jù)基本上都用分?jǐn)?shù)表示，分?jǐn)?shù)運(yùn)算成為古歷法中一很大項(xiàng)目。”這促使分?jǐn)?shù)算法在我國(guó)“早熟”。

另外，正是由于我國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的熟悉，才使我國(guó)在其他數(shù)學(xué)研究方面也能夠走在其他民族前面，因?yàn)檎缜懊嬉呀?jīng)提到的，分?jǐn)?shù)還是研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題必不可少的工具。

在第二節(jié)中，我們提到了幾種特殊的分?jǐn)?shù)。

首先，我們重新認(rèn)識(shí)了一下埃及分?jǐn)?shù)。在此之前，我們提到它時(shí)，說(shuō)它由于運(yùn)算的煩瑣，導(dǎo)致埃及數(shù)學(xué)不能得到進(jìn)一步的發(fā)展。但由它引出的有趣問(wèn)題卻吸引了眾多的業(yè)余與專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)工作者，使它至今仍保持著旺盛著生命力。

隨后，我們介紹了我們所熟知的小數(shù)。我們已經(jīng)指出，應(yīng)用起來(lái)比較方便實(shí)用的小數(shù)只是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的一種方便表示法而已。但它的產(chǎn)生與現(xiàn)代記法的出現(xiàn)，正如前面已經(jīng)提到的，也是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間。

對(duì)此，你也許能聯(lián)想到位值制的產(chǎn)生吧。兩者對(duì)于我們來(lái)說(shuō)都是顯而易見(jiàn)的，但在歷史上卻都經(jīng)歷了長(zhǎng)期的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

之后，我們介紹了一下近似分?jǐn)?shù)。當(dāng)回顧這一部分內(nèi)容時(shí)，有幾點(diǎn)想法需要再提一下。

其一，數(shù)學(xué)與實(shí)踐是密切相關(guān)的。因此，當(dāng)實(shí)際生活中人們提出對(duì)方便實(shí)用的近似分?jǐn)?shù)的需求時(shí)，如何求得更好的近似分?jǐn)?shù)就成為數(shù)學(xué)中的一大課題，并發(fā)展出與之相關(guān)的丟番圖逼近的數(shù)學(xué)分支。數(shù)學(xué)必須密切聯(lián)系社會(huì)實(shí)踐。數(shù)學(xué)的發(fā)展，雖然它前進(jìn)的每一步不一定都需要社會(huì)實(shí)踐所提出的各種要求的直接推動(dòng)，但是數(shù)學(xué)要想從根本上得到不斷的發(fā)展，那就非密切聯(lián)系實(shí)際不可。數(shù)學(xué)發(fā)展的無(wú)數(shù)事例都證實(shí)了這一點(diǎn)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)也具有相對(duì)獨(dú)立性、具有脫離實(shí)際的特征，這一特點(diǎn)越到數(shù)學(xué)發(fā)展的后期表現(xiàn)得越明顯。在后面的章節(jié)中我們會(huì)看到這一點(diǎn)。

其二，數(shù)學(xué)的發(fā)展是和其他科學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)的。在這一節(jié)里我們看到了我國(guó)古代數(shù)學(xué)與天文歷法推算之間的密切聯(lián)系。事實(shí)上，我國(guó)古代許多數(shù)學(xué)家同時(shí)都是天文學(xué)家。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題或方法都是在天文歷法的探討中提出并得以解決的。加成法的使用就是其中的一個(gè)例證。正是由于調(diào)整歷法數(shù)據(jù)的要求，歷算家發(fā)展了分?jǐn)?shù)近似算法：加成法或稱(chēng)“調(diào)日法”，從而在數(shù)的有理逼近方面達(dá)到很高的水平。在現(xiàn)代，數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的關(guān)系問(wèn)題仍是一個(gè)引起爭(zhēng)論并值得認(rèn)真探討的問(wèn)題。

實(shí)際上，通過(guò)以上兩點(diǎn)，我們已經(jīng)涉及到了一個(gè)重要的、并且并不容易解答的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題是：如何理解數(shù)學(xué)的獨(dú)立性？數(shù)學(xué)的發(fā)展是由外部因素造成的呢，還是由內(nèi)部因素造成的呢？

最后，在走過(guò)第一站“自然數(shù)”與第二站“分?jǐn)?shù)”后，我們打算把兩者放在一起做一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)。

我們先來(lái)看一下，這兩者的一個(gè)重大區(qū)別。我們知道，存在著無(wú)窮多個(gè)整數(shù)，也存在著無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)。但是整數(shù)之間的間隔較大，其實(shí)每個(gè)間隔就是一個(gè)單位，而有理數(shù)則是稠密的；也就是說(shuō)，在任何兩個(gè)分?jǐn)?shù)間，無(wú)論它們離得多么近，我們總能找到另一個(gè)分?jǐn)?shù)界于它們之間，其實(shí)我們不是能找到一個(gè)而是無(wú)窮多個(gè)。我們將在后面章節(jié)對(duì)這個(gè)問(wèn)題做進(jìn)一步的闡述。另一個(gè)極其有趣，也極容易令人感到困惑的問(wèn)題是：同是無(wú)窮多，它們能否比較多少呢？如果能的話(huà)，又需要用什么方法比較呢？這個(gè)問(wèn)題我們也將在后面加以探討。

另外，需要提到的是，在走過(guò)這兩站后，現(xiàn)在數(shù)的范圍已經(jīng)擴(kuò)充到了正有理數(shù)與零。在完成了這一步數(shù)的擴(kuò)充后，我們就能夠完成更多的事情了。如我們從數(shù)的運(yùn)算角度來(lái)看一下。在自然數(shù)范圍內(nèi)，我們對(duì)任意兩個(gè)自然數(shù)進(jìn)行加法與乘法運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。這種性質(zhì)在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為自然數(shù)的加法、乘法具有封閉性。顯然，自然數(shù)對(duì)除法運(yùn)算就不具有這種封閉性，即任意兩個(gè)自然數(shù)的商不一定再是自然數(shù)。但當(dāng)把數(shù)從自然數(shù)擴(kuò)充到正有理數(shù)與零時(shí)，關(guān)于除法的封閉性也獲得了滿(mǎn)足。即任意取兩個(gè)正有理數(shù)，只要分母不為零，那么其除法運(yùn)算的結(jié)果仍是正有理數(shù)或零。這正是數(shù)的擴(kuò)充給我們帶來(lái)的好的結(jié)果之一。

還需要指出的一點(diǎn)是：上述數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程是自然的，而后面我們將要提到的數(shù)的進(jìn)一步擴(kuò)充就不再是那么自然的了。你在下一章馬上就能注意到這一點(diǎn)。