1.3 復雜動力網絡的同步及其研究現狀

自從Pecora和Carroll首次提出驅動——響應的混沌同步方案并在電子線路上首次觀察到混沌同步現象之后，在全球范圍內掀起了混沌同步研究的熱潮。過去十幾年時間里，人們在相互作用的混沌系統中發現了不同的混沌同步類型，如按照動力學系統間同步程度可分為：完全同步（Complete Synchronization）、部分同步（Partial Synchronization）、廣義同步（Generalized Synchronization）、相位同步（Phase Synchronization）、投影同步（Projective Synchronization）、滯后同步（Lag Synchronization）、陣發滯后同步（Intermittent Lag Synchronization）和預測同步（Anticipating Synchronization）等。到了20世紀末，包含大量相互作用的個體的復雜網絡系統的出現和發展，越來越多的研究者開始關注復雜網絡上的動力學，其中復雜網絡上的同步成為人們研究的焦點之一。人們在網絡的每個節點上加一個動力學系統，這個動力學系統既可以是極限環也可以是混沌系統；而讓有邊相連的兩個節點之間存在相互的耦合作用，就形成了一個復雜動力網絡。在這個復雜動力網絡中，節點之間有相互連接和相互影響，這種連接可能很弱，但正是節點之間的這種連接作用，可以使得各個節點系統根據其他系統的狀態來校正自己的狀態，從而實現節點之間的同步。近年來，隨著混沌同步理論和實驗研究在概念和方法方面的發展以及復雜網絡理論的迅速發展，越來越多的研究者投入到復雜網絡上動力系統的同步研究中。

1.3.1 復雜網絡的同步模式

不同的同步定義方式，產生了不同的同步模式，同步模式反映了不同動力系統之間通過相互作用而形成的某種具體的協調一致性。各種各樣同步模式的相繼出現反映出人們理解同步這一普遍現象的認知水平在不斷深入和擴展。復雜網絡的同步實際上是最初人們研究在兩個混沌系統中混沌同步的推廣，因此混沌系統中所研究的各種不同的類型同步都可以將其推廣到復雜網絡中來。下面我們按照動力學系統間的同步程度研究一下復雜動力網絡中混沌同步的分類。

（1）完全同步

復雜網絡完全同步，即當t→∞時，各個節點的狀態為x1（t）→x2（t）→……→xN（t）→s（t），此時所有節點狀態都相同，其中s（t）∈Rn為單個孤立節點的解，s（t）可以是一個平衡點、一個周期軌、一個非周期軌，甚至可以是相空間內的一個混沌軌道。復雜網絡完全同步保證了復雜網絡中每個振子在振幅與相位上都保持一致。近年來，含時延、時變耦合、權重耦合、非線性耦合及多重邊等機制的復雜網絡的完全同步開始廣泛地被研究。完全同步是一種形式上最簡單，研究最廣泛的同步方式，后文提及的同步如不做特殊說明即指完全同步。

（2）相位同步

如果節點不完全相同的復雜網絡系統很難產生完全同步，而可以實現一種中間同步態，那么可稱之為相位同步。如果兩個耦合節點的相位φ1和φ2之間以一定的比率n:m（n和m均為整數）鎖定，即|nφ1-mφ2|＜C（其中C為常數），那么就稱這兩個耦合節點達到相位同步。相位同步是一類同步化程度比較弱的同步現象，它對應于相位鎖定而幅度相關很弱或不相關的情況。現實世界的復雜系統中，不同單元間的動力學特性不同，信息通常是通過與時間相關的量（相位、頻率、脈沖間隔等）在不同單元間傳輸，因此相位同步對于網絡的信息處理有時也具有特殊的意義。

被公認為同步問題研究的開拓者之一的生物學家Winfree最初研究的就是有關相位同步方面的問題。Winfree假設每個節點只與它周圍有限個節點之間存在強力作用，這樣振子的幅值變化可以忽略，從而將同步問題簡化成研究相位變化的問題。在此基礎上，日本學者Kuramoto做了重要的簡化：一個具有有限個恒等振子的耦合系統，無論系統內部各個振子之間的耦合強度多么微弱，它的動力學特性都可以由一個簡單的相位方程來表示。此后，Kuramoto模型成為了研究網絡系統相位同步的經典標準模型。進入21世紀以來，人們開始關注具有小世界和無標度等網絡拓撲特性的復雜網絡相位同步問題。網絡中形成的同步簇中節點個數占整個網絡節點數的比例反映了網絡相位同步的程度。人們通過對小世界模型的相位同步研究發現，隨著網絡中長程邊的增多，開始出現同步簇，并且簇中的節點逐漸增多，最終所有節點形成一個同步簇，相位同步出現飽和態，整個網絡達到相位同步。無標度網絡模型發生相位同步時，首先是度大的節點與周圍相鄰節點發生相位鎖定，如果度大的節點受到干擾不同步后，它的相鄰節點會“幫助”它返回到同步狀態。隨著耦合強度的不斷增大，最終網絡形成一個同步簇。此外，網絡模體以及離散時間、非對稱耦合網絡的相位同步也受到越來越多的人們的關注。

（3）滯后/預測同步

滯后/預測同步是介于相位同步與完全同步之間的一種同步。它對應于一個系統在t時刻的輸出與其他系統在t+τ（或t-τ）時刻的輸出是相關的。也就是說，各個系統的輸出在相位和振幅上相關，但存在一個時間差，即滯后同步指響應系統的狀態輸出除了在時間上以固定差值滯后于驅動系統外完全相同，而預測同步則相反，響應系統的輸出則超前于驅動系統，它們都意味著兩個系統在時移情況下狀態的重合，不過是分別與其過去狀態或者未來狀態重合。不同的混沌系統在弱耦合下會發生相位同步，此時振幅保持無關。當耦合強度增大時，會出現滯后同步。當耦合強度繼續增大時，系統會由滯后同步趨向于完全同步。在滯后同步中還存在一種特殊的形式——陣發滯后同步，即各個系統大多數時間是滯后同步的，但偶爾會出現非同步行為的爆發。文獻[56]將陣發滯后同步解釋為多個滯后同步的共存情況，而把陣發現象解釋為一個滯后同步劇烈跳躍到另一個滯后同步的過程。

（4）投影同步

投影同步是指驅動系統和響應系統之間的相位鎖定，且各對應狀態的振幅最終趨于某一比例因子α，即響應系統y（t）的狀態變量和驅動系統x（t）的狀態變量之間存在著正比例函數關系：y（t）=α（x（t））。投影同步也是介于相位同步與完全同步之間的一種同步，它實際上是廣義同步——所有振子的狀態之間滿足某種映射關系（即y（t）=F（x（t））的一個特例。而完全同步和反相同步分別是投影同步在比例因子α=1和α=-1的特例。投影同步是Mainieri和Rehacek于1999年在部分線性混沌系統中觀察到的，之后它被廣泛應用于保密通信中，可以將二進制數轉換為M進制數以實現更快的傳輸。正是投影同步的這種性質，引起了廣大學者的研究興趣。早期關于投影同步的研究主要是在部分線性系統中，后來有人將其延伸到非部分線性系統中。隨著復雜網絡科學的興起，已經有學者開始關注復雜網絡上動力系統之間的投影同步，并取得了一定的研究成果。Hu等人通過耦合Lorenz系統研究了驅動——響應動力學網絡上的投影同步。Feng等人還研究了復雜動力網絡上的投影——滯后同步和投影——預測同步。

1.3.2 復雜網絡的同步控制研究現狀

早期對復雜網絡的同步控制研究主要集中在物理學科。對物理學家而言，研究的目標是理解網絡的拓撲結構對復雜系統物理過程的影響。因此，復雜動態網絡系統的同步控制問題一大類是集中在基于網絡同步能力方面的研究，這類方法主要以主穩定函數判據推導出的網絡同步能力參數為依據，側重研究網絡本身的屬性對復雜網絡同步的影響，以此利用不同方法如改變網絡的拓撲結構、設計自適應耦合強度等來提高網絡的同步能力；另一類則是以控制理論研究為代表的控制方法。在這類方法中，主要把復雜網絡當作一個受控系統，采用設計控制器如線性反饋控制器、自適應控制器、脈沖控制器和切換控制器等來保證網絡同步的實現。下面分別介紹這兩大類方法的研究現狀。

（1）基于提高網絡同步能力的控制方法

網絡的同步能力一般采用主穩定函數判據中的同步化區域S具有單一的有界形式來定義的，即可以用對應的耦合矩陣A的第二大特征值λ2或耦合矩陣A的最小特征值λN與第二大特征值λ2的比值作為比較網絡拓撲結構同步能力的依據。例如在文獻[97]中，Nishikawa等人系統地討論了網絡的特征度量與網絡同步能力間的關系，并指出網絡的同步能力與網絡的平均路徑關系不大，但度和介數（betweenness）的分布卻能較好地表征網絡的同步能力。基于特征值比值R，通過改變耦合強度和方式，改變網絡拓撲結構，設計自適應同步網絡等方法都能夠達到提高網絡同步能力的目的。

在利用改變耦合強度和方式提高網絡同步能力方面，2005年，Motter等人重新定義了耦合矩陣，提出了一種通過調節耦合強度的方法來降低度分布不均勻性的方法；Hwang和Zou等人發現，相對增強“年老（即點加入網絡的時間早）”節點對“年輕”節點的作用會使得生長無標度網絡的同步能力增強，即當“年老”節點的耦合起主導作用時網絡具有更強的同步能力；Chavez等人提出了通過邊的介數來調節節點間耦合強度的方法能夠增強網絡的同步能力；考慮到網絡中節點可能不具有年齡特點及難以利用大規模網絡的全局信息等問題，Zhao等人利用網絡的局域信息設計耦合矩陣，顯著地提高了網絡的同步能力，這一方法適用于各種不同的網絡結構。此外，還可以通過設計網絡輸出函數來改變節點的耦合方式，將網絡的同步化區域由有界區間調整為無界區間，增大了網絡的同步化區域，從而達到增強網絡同步的目的。

網絡的拓撲結構決定了網絡的同步能力，改變網絡拓撲結構是提高網絡同步能力最直觀的方法。在利用改變網絡拓撲結構提高網絡同步能力方面，Hong等人由數值分析比較去掉網絡中最大介數的節點前后網絡同步能力的變化，驗證了網絡的最大介數越大，同步能力越差；Zhao等人提出了結構微擾法，網絡可通過為介數最大的節點增加一組或幾個全連通的輔助節點較小改變，從而有效地提高網絡的同步能力；Zhou等人則通過縮短一類交叉雙循環網絡的平均路徑長度來達到提高網絡的同步能力；Yin等人研究了在無標度網絡中刪除網絡中的一些過載邊會明顯地提高網絡的同步能力。

從網絡同步的實現是基于動態耦合關系出發，復雜網絡往往能夠自主地實現同步。在利用設計自適應同步網絡提高網絡同步能力方面，Zhou等人研究發現，若節點的耦合強度隨該節點及鄰居間局域信息自適應調節，則網絡會在耦合的作用下達到穩定的同步態；Huang提出了一種利用節點與鄰居節點狀態變量的差來調節網絡節點間的耦合強度的方法及網絡實現同步的證明；Chen等人則利用網絡的全局信息，即網絡所有節點與同步解的差值來設計整個網絡的耦合強度，在這種自適應耦合方式下，網絡的同步能力得到極大的提高，并能夠獲得使網路同步的最小耦合強度；Boccaleth等人提出了一種同時改變耦合強度和耦合矩陣拓撲結構以提高網絡同步能力的方法；Sorrentin針對時變演化網絡提出了利用節點接受一個鄰居信號的自適應同步策略。

（2）基于設計控制器的同步控制方法

設計網絡控制器的初衷來源于控制理論，一直以來，控制領域的學者都在思考如何結合網絡的特性通過控制手段來提高網絡的性能，并利用一些控制策略進行了初步的研究，即將復雜網絡看成是一個受控系統，網絡實現同步看作是控制目標，將設計網絡控制器看成是用于實現目標的控制手段。由此，將復雜動態網絡系統的同步控制問題轉化為受控系統的控制器設計問題，并可以應用現有的控制理論中的控制思想和控制方法進行網絡控制器的設計。因此，從控制方法上，復雜動力網絡的同步控制可分為線性控制、自適應控制、脈沖控制、切換控制等，或是幾種控制方法的結合。設計網絡同步控制器的基本手段是對網絡中的每個節點實施控制作用，這來源于大系統理論中的分散控制思想。但由于復雜網絡系統節點海量，若對每個節點施加控制需要付出巨大的控制代價。因此，對大尺度網絡中每個節點設計控制器往往不合理，甚至是無法實現的，人們希望能夠僅對網絡中的一部分節點之間施加反饋控制，由此牽一發而動全身，從而能夠將規模龐大的復雜動力網絡的每個節點達到同步，獲得很高的控制效率，牽制控制由此應運而生。因此，按施加控制器的節點的多少，復雜動力網絡的同步控制可分為一般的分散控制和牽制控制等。下面我們簡單介紹近年來復雜網絡系統同步控制的研究進展。

自適應控制。基于現實世界中復雜網絡系統的每個節點的不確定性，Li等研究了不確定性動態網絡，通過設計魯棒自適應控制器，探討了局部和全局魯棒自適應同步控制問題；而zhou等人利用不同的分析方法研究了不確定動態網絡系統，得到了比文獻[112]的結論保守性小的條件，并設計了更簡單的自適應控制器；Chen等人考慮更加廣義的不確定復雜網絡系統，此類系統中節點的動力行為和耦合函數都具有不確定性，文中基于Lasalle不變原理設計了自適應控制器，并發現星形網絡和無標度網絡在非均勻內部耦合的情形下，只要控制部分節點就能達到同步。上述研究結果中所設計的控制器都是基于全局信息，而在實際中往往很難獲得，Lu等人利用網絡中每個節點鄰居的信息，針對不確定動態網絡設計自適應控制律，文中的兩種自適應控制律分別用于同步化網絡和牽制控制網絡，盡管它們可以成功地應用到所有的網絡，但是網絡的拓撲結構會影響到收斂速度和牽制的強度。

脈沖控制。由于許多復雜動態網絡的狀態不僅僅是單純的連續量或離散量，而是兩者同時存在與作用的現象。因而，Yao等人提出了一種新的混雜復雜動力網絡模型，利用Lyapunov穩定性，研究了此類系統在脈沖控制下的鎮定問題；在此基礎上，Guan等人考慮了時變拓撲的復雜網絡模型，利用混合脈沖和切換控制，得到了時變的混合脈沖和切換控制的復雜網絡控制模型，其中每個節點隨著時間和脈沖的影響進行切換，并給出了此類系統漸近穩定的條件；Li等人利用脈沖函數微分方程，研究了節點為神經網絡模型的時延耦合網絡系統。通過脈沖反饋控制，保證了時延復雜動態網絡系統的魯棒同步穩定；Yang等人建立了同時具有不確定參數和時變時延的脈沖耦合復雜切換網絡模型，通過脈沖切換混合控制，保證了該復雜動態網絡系統的魯棒同步。

牽制控制。牽制控制是人們在進行復雜系統控制研究時為減少控制器數目所做的一種嘗試。這種控制的基本思想是對網絡中的少量節點施加控制作用來實現控制整個網絡時空混沌行為的目的。對于一個包含大量節點的復雜網絡而言，控制網絡的少量節點以達到整個復雜網絡的同步顯然比控制網絡中的每個節點的方法簡單得多。實際上，這種由局部控制進而控制全局的控制手段進一步發展了分散控制，也為控制復雜系統提供了新的手段。在對牽制控制的理論研究中，牽制控制最早應用于規則網絡的時空混沌控制；后來Grigoriev等人嘗試將耦合映象格子的部分節點引入局部線性反饋控制以達到控制高維系統的時空同步；Parekh等人進一步研究了耦合映象格子中時空混沌的全局和局部控制。近年來隨著復雜網絡研究的興起，牽制控制已被用于控制大規模動態復雜網絡的同步問題。Wang和Chen首次將牽制思想用于復雜網絡控制，給出了研究復雜網絡牽制控制的數學模型，并實現了對一致連接無標度網絡的平衡點的控制；Li等人在Wang和Chen工作基礎上系統地研究了復雜網絡牽制控制問題，利用Kronecker積和穩定性相關理論給出了一致連接耦合網絡關于平衡點實現局部穩定和全局穩定的證明，同時，他還對具有無標度特性的受控網絡提出了兩種典型的牽制策略：特定牽制即依次選擇網絡中度最大的若干節點施加控制作用，隨機牽制即隨機選取網絡中若干節點進行控制，通過數值仿真發現，在控制網絡到平衡點時，只控制那些度大的節點所需的牽制節點數目比隨機牽制控制所需的節點數目少很多，這一工作引發了國內外眾多科研工作者對復雜動態網絡牽制控制問題的研究興趣；Duan等人則討論網絡節點為線性與區域非線性系統的復雜網絡牽制控制問題，并給出了相應的充分條件和必要條件；Xiang等人討論了復雜網絡在具有不對稱加權耦合矩陣的牽制控制能力問題；Zou等人研究了不對稱加權無標度網絡的牽制控制能力，并指出存在一臨界牽制比例pc，對于特定牽制比例p＞pc總能提高網絡的牽制能力；Chen等人研究了含時延、加權耦合網絡的牽制控制問題。這些研究成果表明牽制控制的確能夠起到增強網絡同步的作用。在分析牽制控制能力的方法方面，Xiang等人引入了李亞普諾夫V-穩定性，將網絡的穩定性問題轉化為描述網絡拓撲結構的一個矩陣的負定性判斷問題，進而可以用來討論復雜網絡的牽制控制；Porfiri等人將牽制控制問題等價為系統的全局漸近穩定問題，并利用李亞普諾夫穩定性理論和代數圖論給出了網絡拓撲結構形式的牽制同步充分條件；Sorrentino等人通過引入一個新的虛構節點重新定義了一個規模為N+1的新網絡，將牽制控制問題等價為網絡同步分析問題，進而可利用主穩定函數方法進行牽制控制能力的分析，這徹底解決了應用線性反饋牽制復雜網絡同步的可行性分析問題。