所用的推理具有以下特點：如上文所述，假設P是適合第一位置的時間、地點或者類別的復合商品，p是在第一位置上用一英鎊購買到的一單位的P在第二位置上的價格；Q是適合第二位置的復合商品，是在第二位置上用一英鎊購買到的一單位的Q在第一位置上的價格。那么，正如我們在上文中了解到的一樣，假設消費喜好沒有改變，只有相對價格發生了變化，那么兩個位置上的物價水平之間對比時，真正的量度肯定介于p和q之間。費雪教授（還有其他學者）由此總結認為p和q之間必然有某種數學函數，并且可以使我們對真正的價值位于p和q之間的確切位置進行推測。以此推論下去，費雪教授建議并且檢驗了各種不同的公式，目的是得出真正中間位置的最佳近似值。

我認為，進行對比的物價水平之間的比例通常情況下并不是這兩個表達式的確定代數函數。我們可以編制出p和q的各種代數函數以便決定點的位置，并且這些函數之間都沒有任何可以選擇的。我們面臨著一個概率的問題，對這一概率來說，我們在任何情況下都可能獲得相關的數據，但是，如果缺乏了這些數據的話，這一概率是非常不確定的。

為此原因，我認為費雪教授的長篇大論并沒有什么意義。在對多種公式進行了驗證后，費雪得出結論認為，(用我自己的符號）理論上是非常理想的——這也就是說，他認為這一公式在數學上比其他公式更接近真實。費雪通過一系列驗證得出了這樣一個結論，比如說，這樣的話各公式必須在其兩個極限之間對稱排列。但是，所有這些驗證都是為了表明，該公式比其他可替代的先驗公式遇到的反對要少的多，而并不是為了證明該公式本身是正確的。他們并沒有證明這些公式中的每一個都可以作為一個可能的近似值而站得住腳。

但是，如果我們認為介于p和q之間的公式不是一個可能成立的近似值，而只是為了進行快速敘述而使用的便捷方法，那么我們就會考慮其既有代數的優美，又有算術的簡潔、省力，并且在使用某一特殊的簡便體系的不同情況之下具有內在的一致性。如果p和q二者差別非常大，那么任何一種簡便方法都會引起誤解；但是如果p和q是幾乎相同的，那使用“介于p和q之間”這樣的說辭就變得非常麻煩，于是我們可以更簡便地引用一些中間數據，即使對這些數據的選擇是隨機的，也不會引起巨大的誤會。因此，如果人們了解到這樣的公式僅僅是方便的、前后一致的“介于p和q之間”的一個簡便的方法，我對此就沒有什么異議了。

因此，在實際中，費雪教授的公式通常并不會引起什么危害。有人反對這一公式是認為這一個公式非常容易就會引起實際上并不合理的對比，并且無法使計算者認識到此中涉及到的錯誤的性質和程度，而先前的方法無一例外地都會做到這點。費雪教授的公式受到抨擊的原因是，從表面上看，它可以同樣非常容易地對任何兩種物價進行數據對比——不管消費喜好有沒有變化以及其他情況。在常識看來根本不能進行可使人理解的對比的地方，這一公式也能得出一個好的結論來，就像非常恰當的復合商品是如此的相似，以至于他們之間的任何折中都會導出一個還比較好的近似值一樣。

但是，此類最古老的公式——盡管被費雪教授稱為“交叉加權”而不是“交叉公式”的——在許多年之前就分別被馬歇爾和埃奇沃斯獨立（參考埃奇沃斯的《政治經濟學論文集》，第一卷，第213頁）提出來過，并且也同樣遭受過許多反對。這種近似方法對比了在兩個位置上的價格，即該方法假定處于非常適合兩個位置的兩種復合商品之間的第三種復合商品，對這兩種復合商品來說也非常適合。這就等于（按上述符號）把q·看作是衡量物價水平變化的方法。12

在對該討論進行總結之前，舉例說明如果消費喜好和環境都不穩定，那么即使p=q，p和q也不能作為衡量貨幣價值變化的可靠指標，或許會是有意義的。

假設在第一位置上牛肉和威士忌（都是一單位）是消費的主要目標，而第二位置上的主要消費目標則是大米和咖啡，并進一步假設在第二位置上的牛肉和咖啡比在第一位置上的便宜50%，而是第一位置上的威士忌和大米則比第二位置上的便宜50%，那么：

（選擇這樣的單位目的是為了使花費可以在第一位置上的牛肉和威士忌之間平分，并在第二位置上的大米和咖啡之間平分。）認為第一位置上的大米和咖啡以及第二位置上的牛肉和威士忌都沒有消費的假設對我們的討論并不重要，只是為了陳述的簡潔才被引入的。如果我們給第一位置上的咖啡和大米進行相對小幅度的加權，并對第二位置上的牛肉和威士忌進行加權，我們還可以保持相同的等式。如果我們忽視極限方法要求的條件，假設費雪的理想性公式理論在任何情況下都是有效的，那么我們可以從上述情況下非常明確地總結出：在消費者主要消費牛肉和威士忌的位置上的貨幣購買力，與消費者主要消費大米和咖啡的位置上的貨幣購買力是一樣的。但是這一結論是錯誤的。例如，假設，雖然大米比第一位置上的要貴，但是由于氣候的影響，消費者喜歡消費大米，那么在第二位置上消費者更喜歡消費大米而不是牛肉。但是在第二位置上消費者更喜歡消費咖啡而不是威士忌，原因很簡單，咖啡更便宜，所以如果威士忌同咖啡相比，跟它在第一位置上一樣便宜的話，消費者就會消費威士忌。如果我們知道兩個位置上的“相似的”人的貨幣收入，我們會發現第二位置上的貨幣購買力比第一位置上的更低。

④鏈式方法

編制一系列指數的“鏈式方法”最早是由馬歇爾提出來的，用以便解決消費性質改變所導致的各種問題。該方法假定要進行對比的一系列位置中的任意兩個連續位置之間的差別是很小的，而且——盡管這一假定通常并未表述出來——有關連續性的小錯誤都是非累積的。鏈式方法所進行的一系列對比中，第一個對比認為，與第一個位置相對應的復合商品跟與第二位置相對應的復合商品近乎等同，而第二個對比則假定，與第二位置相對應的復合商品跟與第三位置相對應的復合商品近乎等同。

鏈式方法如下：

令 p1和p2是與第一個位置相對應的復合商品在第一和第二位置上的價格；

q2和q3是與第二個位置相對應的復合商品在第二和第三位置上的價格；

r3和r4是與第三個位置相對應的復合商品在第三和第四個位置上的價格；以此類推。

令n1，n2和n3是對比在相鄰位置上的物價水平的一系列指數。

那么，鏈式方法用n1來計算n2和n3為：

n2=·n1，

n3=·n2=··n1，

n4=·n3=···n1，以此類推。

因此，運用兩種方法對每一位置與其相鄰位置進行對比，并假設針對同一位置我們運用的兩種不同衡量方法是近似等價的，我們就能得出最終結果。也就是說：

如果n1是嚴格對應第一位置的物價水平；

如果n2是嚴格對應第二位置的物價水平；

如果n′2是通過假定對應第一位置的復合商品同時是對應第二位置的復合商品而獲得的第二位置上的物價水平；

如果n′3是通過假定對應第二位置的復合商品同時是對應第三位置的復合商品而獲得的第三位置上的物價水平，

那么n′3=n2，

n′2=n1，

因此，如果假定n2=n′2，我們就能得出

n′3=·n1；以此類推。

按照之前進行的討論，我們來分析一下上述步驟的正確性。首先，很明顯的就是該方法假定消費喜好等恒定不變；另一方面，該方法不僅允許相對價格的變化，而且還允許在后面位置上引入新的消費品，該消費品無法被前面位置上的消費者獲取。（但是，我們假定市場上處于某一位置的任何消費品仍然會繼續存在于市場上，在下一個位置沒有退出市場。）其次，該方法認定n2近似等于n′2，但是只有我們在對兩個位置進行對比時使用極限方法并且發現p=q的情況下，這一假定才能是正確的。再次，我們假定近似值中的連續性小的錯誤——這是最重要的假定——是不累積的，否則的話，在一系列位置上將這些細小的錯誤重復多遍就累積成一個相當大的錯誤了。

如果每一對連續性的位置彼此間都極為相似的話，那么這些假設中的第二個假設是可以成立的。但是第三個假設更為危險，尤其是在通常使用鏈式方法的情況下，即使用鏈式方法便于對時間序列進行對比。例如，如果我們假定的近似等同替代品逐漸改善（即，如果每一個復合商品都比前一個復合商品有所改進，而不是進一步變壞的話），鏈式方法會表現出一個累積性錯誤來。正是因為這個原因，如果鏈式方法是應用在消費習慣由于機會的持續改善而發生變化這樣一個時間段內的話，就會引起誤解；也就是說，在此情況下，鏈式方法會低估同前面時間相比的后面時期內的貨幣購買力。事實上，鏈式方法假定當人造黃油最初開始引入的時候，其優勢是很少的，消費人造黃油的優勢幾乎就等同于其替代的黃油或其他可消費商品的好處。每一次消費者逐步轉向消費新的、改良的或者相對便宜的商品的時候，情況都是如此。

此外，對鏈式方法還有一個更為嚴重的反對意見，這就是兩個位置間的對比取決于物價和消費性質在中間位置中的路徑。例如，價格和消費本來處于某種狀況，后來某種嚴重的干擾產生了——比如說戰爭——并且極大地改變了相對價格和消費性質，但是隨后內部均衡又恢復了，而且價格和消費都恢復到了之前的狀態。那么，很顯然在此情況下最終的貨幣購買力與最初的貨幣購買力是完全一致的。但是如果我們使用了鏈式方法，我們就無法保證指數能夠恢復到之前的位置——事實上我們可以很確定指數恢復不到先前的位置上13。

最后，在實際應用中，鏈式方法是非常費力也極為不便的——以至于很少被應用，雖然多年前該方法就被提出并獲得了理論家的普遍贊同（我認為該方法實際上并沒有那么大的貢獻）。

因此，我總結認為，在對比今天與五十年前的貨幣購買力的時候，我們最好對比支出中性質未曾改變的那部分（比如說，50%—70%，這一比例到底是多少我也不清楚）消費價格，并列出增減的消費項目（以便我們能夠大體判斷一下際遇提高的程度）進行補充，而不是利用鏈式方法對中間時間段內的逐年的物價水平進行對比。

因此，除了對一般情況下被認作相似的人的貨幣收入進行直接估計之外，利用等同替代方法和極限方法進行補充的最大公因式方法是我們僅有的有效近似值方法。

這一有效的對比購買力方法雖然會遇到諸多應用和理論上的困難，但在現實應用中，還是經常會被用到。這是因為，即使單獨的商品的相對價格和絕對價格發生波動，典型性的消費和限定性的消費喜好的平均性質，以及實際收入的平均水平，通常并不會在時間和空間相去不遠的兩個社會內發生迅速以及廣泛的波動。因此，由于消費構成的變化和消費喜好以及環境的變化引起的問題也不非常明顯。例如，鮑利教授認為，有證據表明英國在1904年至1927年期間的消費喜好和習慣的變化，用工薪階層的消費一般統計數據來檢測的時候是相對比較微小的。