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書友吧第1章 算術(shù)提要
九章算術(shù)九卷,不詳作者名氏。九章算術(shù)是一部現(xiàn)在有傳本的、最古老的中國數(shù)學(xué)書,它的編纂年代大約是在東漢初期。書中收集了二百四十六個(gè)應(yīng)用問題的解法,分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股九章。
春秋、戰(zhàn)國時(shí)期社會(huì)生產(chǎn)力的逐漸提高,促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技能的發(fā)展。當(dāng)時(shí)各國的統(tǒng)治階級(jí)要按畝收稅,必須有測(cè)量土地、計(jì)算面積的方法;要儲(chǔ)備糧食,必須有計(jì)算倉庫容積的方法;要修建灌溉渠道、治河堤防和其它土木工事,必須能計(jì)算工程人功;要修訂一個(gè)適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法,必須能運(yùn)用有關(guān)的天文數(shù)據(jù)。那時(shí)的百姓掌握了相當(dāng)豐富的、由日常生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算技能。雖然沒有一本先秦的數(shù)學(xué)書流傳到后世,但無可懷疑的是九章算術(shù)方田、粟米、衰分、少廣、商功等章中的題解方法,絕大部分是產(chǎn)生于秦以前的。漢書藝文志術(shù)數(shù)類著錄有許商算術(shù)二十六卷,杜忠算術(shù)十六卷,這兩部算術(shù)雖早已失傳,應(yīng)該是東漢初編纂的九章算術(shù)的前身,它們的主要教材應(yīng)當(dāng)被保存于九章算術(shù)各章之內(nèi)。
周禮大司徒篇說:「保氏掌諫王惡而養(yǎng)國子以道。乃教之六藝:一曰五禮,二曰六樂,三曰五射,四曰五馭,五曰六書,六曰九數(shù)?!惯@是說,主持貴族子弟教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數(shù)為「
小學(xué)」的六門課程,每一門課程又各有若干細(xì)目,例如「數(shù)」學(xué)中有九個(gè)細(xì)目。但在周禮里沒有把「九數(shù)」列舉出來,我們就無法考證它的內(nèi)容。漢武帝時(shí)這部周禮開始受到經(jīng)學(xué)家的注意。到東漢時(shí)期,鄭眾、馬融等都為「九數(shù)」作了注解。東漢末鄭玄周禮注引鄭眾說:「
九數(shù):方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要,今有重差、句股?!故聦?shí)上,鄭眾所說「九數(shù)」中的「均輸」已是漢武帝太初元年以后的賦稅制度,決不是周禮九數(shù)原有的一個(gè)細(xì)目?!阜教铩⑺诿?、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要」大概是西漢末傳統(tǒng)算術(shù)的主要綱目,「今有重差、句股」說明數(shù)學(xué)有了新的發(fā)展。傳本九章算術(shù)將句股代替旁要,它的編纂年代當(dāng)在鄭眾注周禮「九數(shù)」(約公元五0年)之后。后漢書馬援傳說,馬續(xù)「善九章算術(shù)」。馬續(xù)是馬援的侄孫,馬融(公元七九——一六六年)之兄,他的生年約在公元七0年前后。馬續(xù)研究九章算術(shù)大概在公元九0年前后。根據(jù)上述史料,我們認(rèn)為九章算術(shù)的編定年代是在公元第一世紀(jì)的后半個(gè)世紀(jì),而各章的主要內(nèi)容在第一世紀(jì)初期已具備了一定的成就。
九章算術(shù)不但對(duì)后世的數(shù)學(xué)著作奠定了優(yōu)良的傳統(tǒng),對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn)?,F(xiàn)在小學(xué)算術(shù)課程中的分?jǐn)?shù)四則,各種比例,面積和體積,以及各類應(yīng)用問題的解法,在九章算術(shù)方田、粟米、衰分、商功、均輸、盈不足等章里已有了相當(dāng)詳備的內(nèi)容?,F(xiàn)在中學(xué)課程中的代數(shù)部分,如開平方、開立方、正負(fù)數(shù)、聯(lián)立一次方程組、二次方程等項(xiàng)目,在少廣、方程、句股章里亦已有了卓越的成就。
傳本九章算術(shù)有劉徽注和唐李淳風(fēng)等的注釋。劉徽是我國古代杰出的數(shù)學(xué)家。他為九章算術(shù)作注解,又自撰重差一卷附于九章算術(shù)九卷之后,故隋書經(jīng)籍志著錄「九章算術(shù)十卷,劉徽撰」。經(jīng)籍志又錄有「九章重差圖一卷,劉徽撰」,當(dāng)是十卷本的附圖,可惜早已亡佚。九章算術(shù)方田章圓田術(shù)注和商功章圓困術(shù)注中都論及「晉武庫中有漢時(shí)王莽所作銅斛」。隋書律歷志論歷代量制引商功章注,說「魏陳留王景元四年(公元二六三年)劉徽注九章」。我們根據(jù)這些資料,認(rèn)為劉徽是魏、晉時(shí)人。他的生平履歷無可詳考。
劉徽九章算術(shù)注自序說:「又所析理以辭,解體用圖。庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣。」這是說,問題解法的理論分析,要用明確的語言表達(dá)出來;空間形體的具體分解,要用幾何圖形顯示出來。這樣纔能做到又簡又明,啟發(fā)讀者的思考。他在注中一方面整理九章算術(shù)各個(gè)問題的解法,理論上屬于一類的使它們歸于一類,提綱挈領(lǐng)地闡明所以能解的道理。在另一方面,對(duì)于原來所有不夠準(zhǔn)確的近似計(jì)算,他提出了更精確的計(jì)算方法。例如九章算術(shù)原術(shù)取用三為圓周率,他通過了圓內(nèi)接正三百八十四邊形和正三千零七十二邊形面積的嚴(yán)密計(jì)算,得到圓周率的近似值,五十分之一百五十七,或一千二百五十分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不盡時(shí)(平方根或立方根為無理數(shù)),原有以分?jǐn)?shù)表示奇零部分的方法不甚準(zhǔn)確,他主張繼續(xù)開方,得出以十進(jìn)分?jǐn)?shù)表示平方根或立方根的近似值。此外,他創(chuàng)立許多新的解題方法,例如盈不足章第十九題的等差級(jí)數(shù)求和法,方程章第七題的互乘相消法,第九題的消去常數(shù)項(xiàng)法,句股章第十六題的內(nèi)切圓徑公式等等,都比原術(shù)簡便。
唐李淳風(fēng)等對(duì)劉徽注本九章算術(shù)作了一些解釋,原有劉注意義十分明確的不再補(bǔ)注,盈不足、方程二章就沒有他們的注釋。九章算術(shù)所有與圓面積有關(guān)的問題,都取圓周率三計(jì)算,劉徽注以為應(yīng)取五十分之一百五十七,李淳風(fēng)等補(bǔ)注認(rèn)為可以用七分之二十二計(jì)算,這是對(duì)的。但七分之二十二是祖沖之的所謂「約率」,而李淳風(fēng)等引用此率,稱它為「密率」。后世人誤認(rèn)七分之二十二為「密率」的很多,這是李注的謬種流傳。少廣章開立圓術(shù),李淳風(fēng)等注釋引祖之說,介紹球體積公式的理論基礎(chǔ)。綴術(shù)書失傳后,祖沖之父子對(duì)于球體積的研究,幸有李淳風(fēng)等的征引而得流傳到現(xiàn)在。
劉、李注本九章算術(shù)到北宋仁宗時(shí)有賈憲所撰的細(xì)草,原書早已失傳,但永樂大典中保存楊輝所引的賈憲開方法是非常寶貴的數(shù)學(xué)史料。南宋末有楊輝詳解九章算法十二卷(一二六一),現(xiàn)在僅存商功、均輸、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂類」。楊輝鈔錄的九章算術(shù)本文和劉、李二家注文有很多脫誤,但也有可據(jù)以對(duì)校永樂大典本的文字。清嘉慶初年李潢撰九章算術(shù)細(xì)草圖說九卷,有校勘、有補(bǔ)圖、有詳草、有說明,發(fā)揮九章算術(shù)劉徽注的原意,對(duì)于讀者是大有裨益的。
版本與校勘
劉、李注本九章算術(shù)在宋代有北宋元豐七年(公元一0八四年)秘書省刻本和南宋嘉定年鮑澣之刻本。明代永樂大典依據(jù)九章名義分類抄錄,到清朝初年并未散佚。明代留心古典數(shù)學(xué)的人很少,九章算術(shù)非但沒有新的刻本,連宋代遺留下來的舊書也漸次散佚。清初南京黃虞稷家中有南宋刻本九章算術(shù),僅存方田、粟米、衰分、少廣、商功五章。一六七八年梅文鼎到南京應(yīng)鄉(xiāng)試時(shí)曾到黃家翻閱過。這個(gè)殘本九章算術(shù)于乾隆中為曲阜孔繼涵所得,嘉慶中為陽城張敦仁所得,今存上海圖書館。常熟毛扆于一六八四年向黃家借鈔得一影宋鈔本。這個(gè)影宋的殘本九章算術(shù)于乾隆中轉(zhuǎn)入清宮,作為天祿琳瑯閣藏書,今存故宮博物院。一九三二年故宮博物院把它影印為天祿琳瑯叢書的一種。
乾隆三十八年(一七七三)開四庫全書館,婺源戴震充四庫全書纂修及分校官。次年,戴震從永樂大典中抄集九章算術(shù)九卷,并且做了一番??惫ぷ?。四庫全書本和武英殿聚珍版本九章算術(shù)都有戴震的校訂文字和補(bǔ)圖。商務(wù)印書館刊行的叢書集成本是依據(jù)武英殿本排印的。
戴震的兒女親家孔繼涵刻微波榭本算經(jīng)十書,其中九章算術(shù)九卷采用戴震的校定本。戴震校正的文字,顛撲不破的果然不少,但也有些地方,他師心自用,把原本不錯(cuò)的文字改掉,后來的讀者很容易被他蒙蔽而引起誤會(huì)。所以作為一個(gè)善本書看,微波榭本的參考價(jià)值是遠(yuǎn)不如武英殿本的。微波榭本九章算術(shù)卷九的最后一頁上題稱「大清乾隆三十八年癸巳秋闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕」,書的底本和刻書年代都有問題,顯然是不足征信的。此后依據(jù)微波榭本翻刻的九章算術(shù)有常熟屈曾發(fā)的重刻本、南昌梅啟照的算經(jīng)十書本和商務(wù)印書館的萬有文庫本、四部叢刊本等等。
嘉慶年鍾祥李潢撰九章算術(shù)細(xì)草圖說,用微波榭本作底本,校正了很多錯(cuò)誤文字。戴震所謂「舛誤不可通」而無法校訂的文句,經(jīng)過李潢校訂后,一般都能文從字順容易理解了。但碰到戴震誤改原文的地方,他就沒有能夠糾正過來。方程章最后一題的劉徽注中,敘述了兩個(gè)「新術(shù)」的演算程序,文字冗長,數(shù)字繁瑣,舊刻本的訛文奪字很多,不容易整理。李潢的友人戴敦元和李銳各代為校正一術(shù)。李潢就照錄他們的校定稿作為細(xì)草圖說的一部分。又,均輸章第八題答數(shù)、術(shù)文和李淳風(fēng)等的注文俱有訛字,李潢未能訂正,沈欽裴于李潢死后算校編輯付刻時(shí)代為校正。
為了要恢復(fù)唐代立于學(xué)官的劉、李注本九章算術(shù),我根據(jù)天祿琳瑯叢書本和宜稼堂本楊輝詳解九章算法所引,重加校訂,寫出了校勘記四百六十余條。戴震、李潢二家所校定的文字認(rèn)為是正確的,于??庇浿新暶魉麄兊拈_辟草萊的功績。也有各本俱誤而各家漏?;蛘`校的文字,只能憑個(gè)人意見,擅自校改,但在??庇浿斜A舾鞅驹械漠愇难茏帧I坦φ玛栺R術(shù)和句股章容圓術(shù)的劉徽注中各有意義難于理解而不能句讀的文字,無法校訂,只能付之缺疑。